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mero pari di dimensioni che ammettono un Gr 2 di movimenti dello spazio 

 ambiente sono di due specie: le une (corrispondenti al caso 2r, = n) non 

 contengono eliche di S n _! , le altre (corrispondenti al caso 2r x = n — 2) 

 contengono solo eliche di S„_! . 



5. Teoremi generali sui sottogruppi del gruppo dei movimenti e sui loro 

 gruppi derivati. — Con metodi analoghi a quelli tenuti nei numeri prece- 

 denti ci proponiamo ora di dimostrare alcuni teoremi generali che ci permet- 

 teranno di dedurre immediatamente i tipi dei gruppi di movimenti a tre 

 parametri. 



Un gruppo di movimenti non può mai avere il gruppo derivato ad 

 un parametro. Infatti sia, se possibile, X x f '== R\-\- T x l'unica operazione 

 del gruppo derivato, siano X 2 f=(R z -f- T 2 ) ... X m f = R m -f- T m le residue 

 operazioni generatrici del gruppo, Xxf è permutabile con una qualunque ope- 

 razione Xf; infatti deve essere (X x X) = q X x f perchè X x f è la sola opera- 

 zione del gruppo derivato, e d'altra parte pel teorema del n. 2 ciò non può 

 essere se non è q = 0 . D' altra parte dovranno esistere due operazioni la 

 cui alternata è X\f> supponiamo che siano X 2 f ed X 3 f: si avrà quindi 

 ( X 2 Z a ) = Xxf (X, {Zi X 3 )) = (Z a {X, Za)) = 0. Z%f , Z 3 f non possono es- 

 sere entrambe traslazioni perchè altrimenti (X 2 Za) = 0 . Supponiamo quindi 

 che sia Z 2 f=R 2 -\- T% una operazione della forma (1) e che sia R 2 =^0. 

 Potrà essere R 3 = 0 od R 3 ={= 0 . Sia #3 = 0: si ponga 



T 3 = fb 2i T J; + X^ì-i T K -i + £b h T ft ; 



l i k > 2r 



sarà : 



Zf=(Z 2 T 3 ) = (R 2 T 3 ) = — f> t _i h T 2i + fb 2i h T 2f _, . 



i i 



Quindi sarà pure X\f una traslazione. Si dovrà avere inoltre 



0 == (X, Xi) = (R 2 Xi) = — Sbu-y hì T 2! _, — Sbti hi T 2i . 



Dovrà quindi essere 



è 2i _, hi = 0 b 2i h\ = 0 (i < r) 



e cioè bìilx — b t i = 0 (i <. r) . Si deduce di qui che (X t T 3 ) = 0: quindi 

 Xxf sarà nulla. L' ipotesi R 3 = 0 è quindi assurda. 



Sia R 3 =j= 0 : e precisamente R 3 = 2b hh R hft (b h k = — b^) . 



Dall' ipotesi (Z 2 Z 3 ) = Zxf si dedurrà (RìR 3 ) = R x , d'altra parte come 

 già al n. 2 si avrà (formula (2)) 



Ri = (-^2 R 3 ) = ^_hi b 2 i2j R>2i-i2j -f~ ^_hi b 2 { 2 j-\ ^à 2 \-iij-\ — ^_hi b 2 i^ x2 j R2i,j — 

 ij .< r ij r ij -< r 



— ~y_hi ^Qt-uj-i R2Ì2J-1 — ^_hi è 2t '_ift R2ift -f~ ~^_hi b 2 iu R2i_is . 



■ij <- r i — ^ r i .< r 



k > 2r k > 2r 



Rendiconti. 1905, Voi. XIV, 1° Sem. 62 



