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L'equazione 0 = (X 2 Xi) ci darà similmente 0 = (R 2 Ri), quindi dovrà 



essere 



0 = (R 2 -^ì) = — ^h\ b t i2j Rai2j — buìj-i Rjiaj-i — ^>h\ bìi^iìj R 2 i_i2j — 



— 2kj ^2t-i2j-i R2i-i2j— i ~\~ ■Shi hj bnij R2i_.2j_ i — 2hi hj b 2 i 2 j^i R2t— i2j — 

 — 2hi hj b 2 i-izj R212Ì-1 ~f~ hj ^ 2 i-i2j-i R212,; — ^h\ b 2 ik R21S — ^h\ bn-w R 2 <-is. 



Si hanno così le equazioni 



(7) h\ b 2iH = h\ b^ = 0 (k > 2r i < r) 



m t**S (hì + hj) — 2hi hj ba-n^x = 0 



2k hj b 2i2j — (hi + h) ) £2,-1 = 0 u 



(Q) b ti2 j.y (h\ -f h)) + 2hi hj bu-nj = 0 . . < 



Le (7) ci dicono == # 2 ;_ lfc = 0 quindi i? 3 si spezzerà in due parti 

 R' 3 R 3 : l'una #3 contenente solo R w con indici <.2r; l'altra R 3 conte- 

 nente solo R hft con indici ^> 2r e quindi permutabile con R 2 . Quanto ai 

 ai coefficienti di #3 essi dovranno soddisfare le (8) (9). Affinchè queste equa- 

 zioni siano risolubili dovrà essere 



0 = 



= + h) Y — m hj = (h] — h]Y 



h\ + h) 2hi hj 

 2hihj (h* + h]) 



Sarà quindi hi = zìzhj e si dedurrà bn tj = _t £ 2 i-i2j_i b 2i _ lt j = =t # 2 » 2 j_i . 

 Ma queste sono le soluzioni di (3') (4') che esprimono che R 2 ed R 3 sono per- 

 mutabili: quindi la condizione (R 2 Ri) = (R 2 (R 2 R 3 ) ) = 0 porta seco l'altra 

 ^1 = (R 2 Rs) = 0. Essendo R 3 permutabile con R 2 porremo R 3 — R 3 -\- R 3 

 come precedentemente; e si avrà X l f=(X 2 X 3 ) = (R 2 T 3 ) -f- ( T 2 R 3 ) poiché 

 (T 2 R' 3 ) = 0. (R 2 T 3 ) sarà una traslazione non contenente che indici <_2r; 

 ( T 2 R 3 ) sarà una traslazione non contenente che indici >2r e quindi sarà 

 permutabile con R 2 . Quindi si avrà 0 = (X 2 (X 2 X 3 )) — (R 2 (R 2 T 3 )) poiché 

 ( R 2 (T 2 R' 3 ')) = 0. Ma la discussione fatta precedentemente dell'equazione 

 (Z2(X 2 X 3 )) = 0 pel caso in cui R 3 = 0 ci dice allora che (R t T 3 ) = 0; e 

 quindi si avrà che Xif=(X 2 X 3 ) = (l 2 R 3 ) è una traslazione contenente 

 soltanto indici >2r. L'equazione (X 2 Xi) = 0 sarà allora identicamente 

 soddisfatta, ma dovrà ancora essere soddisfatta l'altra (Xi X 3 ) = 0 ossia, 

 (( T 2 R 3 ) R 3 ) = 0. Ricadiamo così nel caso precedentemente trattato scam- 

 biati gli indici 2 e 3, e quindi ancora si dedurrà ( T% R 3 ) = 0. 



Le equazioni (X 2 (Z2X 3 )) = 0 (X 3 (Z 2 X 3 )) = 0 conducono a conchiu- 

 dere (X 2 X 3 ) = 0: quindi è dimostrato completamente il teorema enunciato. 



Più generalmente potremo enunciare il risultato del presente numero 

 nel modo seguente: Una operazione del gruppo derivato di un gruppo di 



