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movimenti non è permutabile con tutte le operazioni del gruppo (più pre- 

 cisamente essa non è permutabile neppure con tutte le operazioni tali che 

 alternate con una operazione conveniente del gruppo, danno l'operazione stessa). 



6. In modo analogo possiamo ormai dimostrare che se il gruppo deri- 

 vato è a due parametri le operazioni del gruppo sono traslazioni. 



Siano infatti X\f , X 2 f le due operazioni del gruppo derivato, esse sono 

 permutabili in virtù del n. 2. D'altra parte pel teorema precedente non deb- 

 bono essere permutabili con ogni operazione del gruppo: supponiamo che 

 X\f non sia permutabile con X 3 f, e supponiamo di più che (X t X 3 ), — che 

 è diversa da X/" poiché altrimenti X x f X 3 f genererebbero un gruppo a due 

 parametri non abeliano, — sia X 2 f: (Xi X 3 ) = X 2 f. Siccome si ha (Xi X 2 ) = 

 = (Xi (Xi X 3 ) ) = 0 non potrà essere (X 2 X 3 ) = ((X l X 3 ) X 3 ) = 0 per quanto 

 si vide nel n. 5 ; nè potrà essere ( X 2 X 3 ) = SX 2 pel n. 2 ; quindi si avrà 

 (X 2 X 3 ) = ({X 1 X 3 )X 3 ) = c*X l f+ 8X 2 f con «4=0. Ne segue che X 3 f non 

 può essere una traslazione, altrimenti X 2 f '— (XiX 3 ) sarebbe una traslazione 

 pure essa ed (X 2 X 3 ) = 0. Ma allora, ragionando sull'equazione (X l (X 1 X 3 )) = Q 

 come nel numero precedente sulla (X 2 (X 2 X 3 )) = 0 , segue che le rotazioni 

 Hi R 3 sono permutabili, onde viene che X 2 f è una traslazione. Ma allora 

 anche (X 2 X 3 ) — aX\f-\- 8X 2 f è una traslazione e quindi X\f non può es- 

 sere che una traslazione essa pure. Kesta così dimostrato il teorema. Ma ora 

 è facile mostrare di più che è /S = 0, onde verrà che, supposto che il gruppo 

 derivato di un gruppo di movimenti sia un gruppo a due parametri ge- 

 nerato dalle operazioni X x f, X 2 f ' , esiste nel gruppo una operazione X 3 f 

 tale che 



(X, X 3 ) = X t f (X 3 X 2 ) = X x f. 



Infatti noi abbiamo visto che X x f ed X t f sono due traslazioni e che esiste 

 una operazione X 3 / tale che 



(XiX 3 ) = X,f {X 3 X 2 ) = aX i f-{-^X i f («4=0). 



Perchè queste equazioni possano essere soddisfatte da movimenti non 

 dovranno potersi trovare dei coefficienti reali X , fi tali che 



(X 3 XX, 4- rt) = q (XX f + ixXtf) . 



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E facile vedere che perchè ciò accada è necessario che sia a >. —. Sarà 



quindi a^>0 e chiamando X x f X 3 f le operazioni y a X x f , ~j= X 3 f si avrà 



fa 



(X l X 3 ) = X t f (x 3 x,) = x/4- W (4>/? 2 >0). 



Supponiamo X 3 / ridotto alla forma (1); dalla prima di queste equazioni 

 segue, ricordando che X x f ed X 2 / sono traslazioni, che X t f non contiene 



