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che indici <. 2r, e dalla seconda che lo stesso vale quindi per X x f . Sia 

 Xif=2b 2 i T 2i -j- 2t> 2i -i T 2 i_i. Come nel n. 5 si avrà 



%f = (X, X 3 ) = + 2b^x hiT 2i — 2hi hi T 2i _, 

 X/+ fiX 2 f=2{b 2i Ai) T 2i + 2 (Vi — Phihi) = 



= (X 3 X 2 ) = $ T 2< _! + 2è 2i Àj T 2i . 



Quindi si dedurranno le equazioni 



ba + /? * «-1 h = é« A 2 £ 2l _i — fi àpi hi = b 2i -i hi ■ 

 Affinchè queste equazioni lineari in b ti £ 2i _, siano risolubili deve aversi 



fr~ 1 ^i,* 1 ] = (hi - k + r v= (hjy - m(2 ~ ?) + 1 = o . 



Affinchè h\ non sia immaginaria dovrà quindi essere 



0 < (2 — /? 2 ) 2 — 4 = fi 2 (fi* — 4) , 



che unito alla limitazione 0 <. fi 2 <. 4 darà fi 2 = 0 o /? 2 = 4. Se /S 2 = 4 

 è hi == — 1 e quindi hi immaginario ; quindi deve essere fi 1 = 0 : ne risulta 

 dimostrato il teorema. 



7. / gruppi a tre parametri. — Il prof. Bianchi ( ] ) ha classificato 

 le composizioni dei gruppi a tre parametri diverse per isomorfismi reali : dai 

 tipi di gruppi ivi indicati si vede facilmente che i soli gruppi che non hanno 

 che sottogruppi reali a due parametri non abeliani, sono quelli che hanno la 

 composizione seguente : 



(I) (X,X 2 ) = 0 (X 2 X 3 ) = 0 {X 3 X 1 ) — 0 



(II) (X ì X 2 ) = 0 (X 2 X 3 ) = X i f (X 3 X.) = 0 



(III) (XX 2 ) = 0 (X X 3 ) = XJ + hX 2 f (X 3 X 1 ) = X 2 f 0<|A|<2 



(IV) (X l X 2 ) = X 3 f {X 2 X 3 ) = X ì f (X 3 X) = X 2 /. 



Un gruppo di movimenti a tre parametri deve essere di uno di questi 

 tipi. Ma il teorema del n. 5 esclude il tipo (II). I teoremi del n. 6 ci di- 

 cono che si hanno gruppi di movimenti del tipo (III) solo quando h == 0. 

 D'altra parte i ragionamenti stessi del n. 6 dànno il modo di costruire un 

 gruppo del tipo (III) per h = 0 ; il gruppo formato da tre traslazioni è un 

 gruppo del tipo (1); il gruppo formato dalle tre rotazioni di un S 3 subor- 

 dinato è un gruppo del tipo (IV), quindi possiamo raccogliere il seguente 

 teorema : 



Nel gruppo dei movimenti dello spazio ad n dimensioni esistono solo 

 sottogruppi reali a tre parametri aventi le composizioni seguenti : 



{Xi X 2 ) = 0 (X t X 3 ) = 0 (X 3 X, ) = 0 



(Zi Xt) = 0 (X 2 X 3 ) = X x f (X 3 X,) = X t f (X/ , X 2 f sono traslazioni) 

 (X, X 2 ) = X 3 f{X 2 X 3 ) = Éj (X X, ) = X 2 / ( 2 ). 



(') Bianchi, Sugli spazi a tre dimensioni che ammettono gruppi di movimenti. Me- 

 morie della Società Italiana delle Scienze, 1898, § 13. 



( ? ) Si può chiedere se esisteranno gruppi a tre parametri colle operazioni non in- 



