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sono applicabili 1' una sull'altra e sopra una medesima superfìcie di rotazione. 

 In certo modo la teoria delle trasformazioni si presenta così più semplice 

 per l' iperboloide rigato rotondo che non per le altre due forme quadriche 

 di rotazione prima considerate. 



La proposizione fondamentale della nuova teoria si ha nel seguente: 

 Teorema I. Ogni superficie 2 applicabile sull'iperboloide rotondo 

 rigato appartiene,, come prima falda focale, ad co 2 congruenze rettilinee W, 

 la cui seconda falda focale è applicabile sul medesimo iperboloide. 



Nota che sia una deformata 2 dell' iperboloide, nelle seconde falde focali 

 di ciascuna delle indicate congruenze si hanno oo 2 nuove deformate 2 X del- 

 l' iperboloide stesso: il passaggio da 2 a JS 1 , costituisce una delle nostre 

 trasformazioni. 



La determinazione delle co' trasformate 2 { di una data superficie 2 

 applicabile sull' iperboloide, dipende dall' integrazione di un sistema lineare 

 di equazioni ai differenziali totali che qui non occorre specificare più da vicino. 



Osserverò ancora di passaggio che, oltre le deformate dell' iperboloide 

 rigato rotondo, godono della proprietà stessa, espressa dal teorema I , varie 

 altre classi di superficie applicabili sopra superficie di rotazione, e precisa- 

 mente quelle applicabili sui tipi seguenti : 1° la pseudosfera ordinaria, 2° la 

 pseudosfera accorciata od allungata, 3° il catenoide ordinario, 4° il catenoide 

 accorciato od allungato, 5° il sinusoide iperbolico. Ed anzi non è escluso 

 che il teorema I valga anche per altre classi di superficie applicabili sopra 

 superficie di rotazione, per le quali si potrà allora costruire una corrispon- 

 dente teoria delle trasformazioni. 



2. Ritornando alle deformazioni dell' iperboloide, indico qui la via indi- 

 retta per la quale sono dapprima pervenuto alla proposizione fondamentale 

 enunciata. 



l'equazione dell' iperbola meridiana, il quadrato dell'elemento lineare del- 

 l' iperboloide, generato dal rotare di questa iperbola attorno all'asse delle g 

 (asse immaginario), è dato da: 



Essendo 



a 



2 b 2 



ds = 



(a 2 + b 2 ) r 2 — a 4 

 a 2 (r 2 — a 2 ) 



dr 2 -j- r 2 dv 2 



e per la curvatura K della quadrica si ha quindi 



K= — 



\{a 2 -f b 2 ) r 2 — a A { 2 ' 



