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Si consideri ora una qualunque superficie 2 applicabile su questo iper- 

 boloide, e siano a,/? i parametri delle linee assintotiche sopra 2. Dalle 

 forinole di Lelieuvre e dalla teoria delle deformazioni infinitesime risulta 

 che, se si pone: 



t \'{a % -f b 2 ) r 2 — a 4 v . f(a 2 + b 2 )r 2 — a* 

 ^ ab ab 



. _ _ j/(a 2 + b 2 ) r 2 — a 4 _ \U 2 + è 2 



dove X,Y,Z denotano i coseni di direzione della normale a 2, queste 

 quattro funzioni f di « , /? sono soluzioni di una medesima equazione di 

 Moutard 



~> 2 £ 



(2) _A£- = M|, 



essendo M una conveniente funzione di a , /?. 



Ora le quattro £ sono visibilmente legate dalla relazione quadratica 



(3) + 



ci troviamo così nel campo delle equazioni di Moutard dotate di un gruppo 

 di quattro soluzioni quadratiche. Della teoria generale delle trasformazioni 

 (ortogonali) di queste equazioni mi sono già occupato l'anno scorso in questi 

 Rendiconti ('), e più diffusamente in una Memoria ora stampata negli Atti 

 della Società dei XL ( 2 ). 



Le particolari equazioni di Moutard che ammettono gruppi di quattro 

 soluzioni legate dalla relazione (3) si presentano, come ivi ho dimostrato, 

 nella teoria delle superfìcie di Voss dello spazio iperbolico, di quelle super- 

 ficie cioè, immerse nello spazio di curvatura costante negativa, sulle quali 

 esiste un doppio sistema coniugato di linee geodetiche. La teoria delle tras- 

 formazioni per queste superficie che ho svolto alla fine della Memoria ora 

 citata si traduce appunto, mediante le osservazioni superiori, nella teoria 

 delle trasformazioni delle superficie applicabili sull' iperboloide rigato di cui 

 ci stiamo occupando. 



3. La trasformazione colla quale si passa, secondo il teorema I, da una 

 deformata nota 2 dell' iperboloide ad una nuova 2 { dipende da due costanti 

 arbitrarie. Una di queste dà il valore dell'angolo costante che nello spazio 



(') Sulle equazioni di Moutard con gruppi di soluzioni quadratiche, volume XIII, 

 fuse. 6, settembie 1904. 



( 2 ) Sulle varietà a tre dimensioni deformabili entro lo spazio euclideo a quattro 

 dimensioni, Alti, serie 3 a , t. XIII (1905) 



