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Il sistema oo* di sfere descritte attorno ai punti di 2 come centri, e 

 colla legge stessa assegnata sopra per 2, ha per falde dell'inviluppo due 

 nuove superficie immaginarie coniugate S, , S 2 colla curvatura costante 



K = — — . Queste superficie pseudosferiche S, , S 2 sono legate tanto alla S 



che alla S 3 da una trasformazione di Bàcklund, secondo il teorema di per- 

 mutabilità Quattro punti M , M, , M 2 , M 3 corrispondenti delle quattro 

 superficie segnano i vertici di un quadrilatero sghembo, i cui lati hanno la 

 lunghezza costante puramente immaginaria af — 1, e l'angolo 0 che for- 

 mano i piani MI, MjJjM, M 2 tangenti a S , S 3 con quelli M,MM 3 , 

 M 2 M M 3 tangenti a Si , S 2 è pure una costante puramente immaginaria, il 



cui coseno e eguale a i ^ . 



Come si vede, la teoria della deformazione dell'iperboloide rotondo ad 

 xma falda viene così a dipendere da quella di una certa classe di superficie 

 pseudosferiche immaginarie. Si può dire che la difficoltà della ricerca si 

 riduce a caratterizzare queste speciali superfìcie pseudosferiche immaginarie 

 ed a presentare quindi, sotto forma definitiva reale, le formolo finali per le 

 trasformazioni. 



Questo sarà l'oggetto di un più ampio lavoro, ove la teoria qui appena 

 accennata riceverà un adeguato sviluppo. 



Matematica. — Sugli integrali semplici appartenenti ad una 

 superficie irregolare. Nota del Corrispondente G. Castelnuovo. 



Quando si tenta di estendere alle superficie algebriche i risultati otte- 

 nuti, nella teoria delle curve, da Riemann, Clebsch, Brill e Nother, si 

 incontrano, accanto ad affinità previste, singolari anomalie. Il Cayley, per 

 primo (1871), ne segnalò una. Si parta da una superficie / d'ordine n, do- 

 tata di una curva doppia con un numero finito di punti tripli, che siano 

 pure tripli per la superficie. E si voglia il numero p g delle superfìcie (ag- 

 giunte) indipendenti d'ordine n — 4 , che passano semplicemente per la detta 

 curva; p g è (come fu osservato da Clebsch e Nòther) un invariante della 

 superficie f, il genere geometrico. Ora, se, per calcolare p g , si applicasse 

 alla ipotesi v = n — 4 quella formola, che dà il numero delle superfìcie 

 indipendenti, di ordine v abbastanza elevato, passanti per la curva nominata, 

 si troverebbe, in certi casi, un risultato p a inferiore al valore esatto p g . 

 Questa discordanza, che non si presenta mai nel problema analogo (v = n — 3) 



(') Lezioni, voi. II, pag. 411 seg. 



