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relativo alle curve piane, fu rilevata dal Cayley nel caso delle superficie 

 rigate a sezioni di genere n > 0 ; qui infatti si trova p g = 0 , p a == — n. 

 Riconosciuto dallo Zeuthen e dal Nòther il carattere invariante (rispetto 

 alle trasformazioni birazionali) del numero p a , genere aritmetico, si fu con- 

 dotti a distinguere le superfìcie regolari, per cui p g =p a (tali sono ad es. 

 le superficie razionali, la superficie generale d'ordine n, ecc.), e le superficie 

 irregolari, per cui p a <iPg- Di queste ultime superficie si trovarono presto 

 altri esempi, oltre le rigate irrazionali ; i quali esempi condussero a pensare 

 che ogni superficie dotata di un sistema algebrico di curve, non conte- 

 nuto totalmente in un sistema lineare, fosse irregolare. Congettura questa, 

 di cui io stesso, in un caso particolare ('), e l'Enriques, in generale ( 2 ), 

 riconoscemmo l'esattezza. 



Mentre da un lato la teoria delle superficie si svolgeva con mezzi alge- 

 brici, si cercava d'altro lato di estendere ad esse quei procedimenti trascen- 

 denti, che si erano rivelati così fecondi nella teoria delle curve, secondo il 

 Riemann. Il Clebsch e il Nòther pensavano che gli integrali doppi di fun- 

 zioni algebriche (cui è legata la definizione trascendente di p g ) costituissero 

 la più naturale estensione del concetto di integrale abeliano di una curva. 

 Il Picard ebbe invece l'idea (1885) di esaminare gli integrali di differen- 

 ziali totali (o integrali semplici) algebrici, che appartengono ad una data 

 superfìcie. Detto di prima specie un integrale, che si conservi finito sopra 

 tutta la superficie, il Picard si accorse che le superficie, riguardate come 

 generali sotto l'aspetto proiettivo (ad es. la superficie priva di singolarità), 

 non posseggono integrali semplici di prima specie. Vi sono però tipi di super- 

 ficie aventi integrali siffatti, ad es. le rigate irrazionali e le superficie iperel- 

 littiche (pa— — ì-ipg — !)■ Inseguito (1893) 1' Humbert ( 3 ) dimostrò, in 

 modo elegante, che ogni superficie possedente un sistema algebrico di curve, 

 non contenuto totalmente in un sistema lineare, ammette integrali sem- 

 plici di prima specie. 



L'analogia evidente di questo risultato con quello che precede, relativo 

 alle superfìcie irregolari, fece pensare che la famiglia delle superfìcie irre- 

 golari e la famiglia delle superficie dotate di integrali semplici di prima 

 specie non fossero, in realtà, distinte tra loro. Per giungere ad una siffatta 

 conclusione sarebbe bastato poter invertire i due teoremi citati. Un primo 

 passo in questa direzione fu fatto dall'Enriques (1901), il quale dimostrò ( 4 ) 



( 1 ) Alcuni risultati sui sistemi lineari di curve , n. 10, Memorie della Società 



Italiana delle Scienze, s. Ili, t. X (1894-96). 



( 2 ) Una proprietà delle serie continue di curve , Rend. del Circolo Matem. di 



Palermo, t. XIII (1899). 



( 3 ) Journal de Mathématiques (4 e s.), t. X, pag. 190. 



( 4 ) Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, 2 e s.. Ili, pag. 77. Un'altra 

 dimostrazione del teorema si trova nella Nota del Severi, Osservazioni sui sistemi con- 

 tinui , Atti della R. Àccad. d. Scienze di Torino, 1904. 



