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che una superficie dotata di p integrali semplici, distinti, di prima specie, 

 con 2p periodi, possiede un sistema algebrico di curve non contenuto total- 

 mente in un sistema lineare, ed è quindi irregolare. Solo receutemente 

 (settembre 1904) riuscì al Severi (') di dimostrare, per una via affatto di- 

 versa, e senza ulteriori ipotesi, che ogni superficie dotata di integrali sem- 

 plici di seconda specie è irregolare ; risultato, in cui è incluso quello che 

 a noi interessa, perchè gli integrali di prima specie rientrano tra gì' inte- 

 grali di seconda specie. 



Poco dopo (dicembre 1904) potè l'Enriques ( 2 ) costruire, in modo sem- 

 plice, sopra ogni superficie irregolare, un sistema algebrico di curve non 

 contenuto in un sistema lineare ; e di qua egli concluse che, inversamente, 

 ogni superficie irregolare è dotala di integrali semplici di prima specie. 



Eisolta, mediante queste ricerche, la questione qualitativa concernente 

 la identità delle due famiglie di superficie più volte nominate, rimaneva 

 aperta la questione quantitativa : « quale relazione passa tra la irregolarità 

 p g — p a di una superficie ed il numero degli integrali semplici, distinti, di 

 prima specie della superficie? » 



Il Severi, nell'ultimo lavoro citato, era giunto alla disuguaglianza 

 r — q^-pg — p a , dove r e q sono i numeri degl'integrali semplici, distinti, 

 di seconda e di prima specie della superficie. In seguito, il Severi stesso e 

 contemporaneamente il Picard ( 3 ) dimostrarono l'uguaglianza r- — q=p g — p a - 

 Pochi giorni dopo mi riuscì di compiere l' ultimo passo in questa direzione ( 4 ), 

 deducendo dall'ultimo teorema di Enriques la relazione q^p g — p a , dalla 

 quale, tenuto conto della disuguaglianza di Severi, o dell'uguaglianza di 

 Picard-Severi, seguono facilmente le relazioni q =p g — p a , r = 2(p g — p a ). 

 La prima di queste ci dice che l'irregolarità di una superficie uguaglia 

 il num.ero degli integrali semplici, distinti, di prima specie appartenenti 

 alla superficie. 



Di questo teorema il Severi diede in seguito una dimostrazione più 

 semplice, ed il Picard indicò pure una via interamente diversa per giungere 

 a quel risultato ( 5 ). Altre strade si intravvedono ancora, che devono condurre 

 alla stessa meta, partendo, come il Severi ed io, dal teorema di Enriques. 



(') Bencl. della B. Accad. dei Lincei, fase. 5°, 2° sem. 1904. 



( 2 ) Rendiconto delle sessioni della R. Accad. d. Scienze di Bologna, 1904; Comptes 

 Rendus de l'Acad. des Sciences, Baris, 16 gennaio 1905. 



( 3 ) Si veda, in uno stesso fascicolo dei Comptes Bendus de l'Ac. d. Se. (16 gen- 

 naio 1905), il lavoro citato di Enriques ed una Nota del Bicard. Si veda inoltre il lavoro 

 del Severi, Sulla differenza tra i numeri degli integrali di Picard , Atti della B. Ac- 

 cademia delle Scienze di Torino, 22 gennaio 1905. 



( 4 ) Comptes Bendus, ecc., 23 gennaio 1905. 



( 5 ) Le due dimostrazioni sono pubblicate in uno stesso fascicolo dei Comptes Ben- 

 dus, ecc., 3 aprile 1905. 



