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Credo tuttavia opportuno di pubblicar qui, per disteso, la mia prima 

 dimostrazione, di cui un semplice cenno si trova nei Comptes Eendus. Mi 

 sembra infatti che le considerazioni, sulle quali la mia dimostrazione si 

 appoggia, presentino interesse pari a quello del risultato a cui si giunge. 

 Alludo alla notevole relazione, che viene a stabilirsi, fino dalle prime pagine, 

 fra l' insieme dei sistemi lineari di curve contenuti in un sistema algebrico, 

 sopra una superficie irregolare, e le varietà che ammettono un gruppo tran- 

 sitivo di trasformazioni birazionali in sè stesse, permutabili a due a due; 

 relazione, che lega dunque una superficie avente l' irregolarità p ad un si- 

 stema di funzioni, 2p volte periodiche, di p variabili. Per chiarire questo 

 legame, e metterne in luce l' interesse, che esso ha per la teoria delle fun- 

 zioni algebriche di una o più variabili, mi si permetta di fermarmi un 

 momento sul caso notissimo delle curve algebriche. 



Sopra una curva f(x ,y) = 0, di genere p, si fissi un gruppo di n^p, 

 punti generici, dando, ad es., le equazioni <p{x) — 0 , ip{y) = 0 dei gruppi 

 di rette proiettanti quei punti parallelamente agli assi coordinati. Le n 

 costanti, da cui il gruppo dipende, possono dividersi in due classi. Le co- 

 stanti della prima classe, il cui numero (n — p) è fissato dal teorema di 

 Riemann-Roch, entrano razionalmente nei coefficienti di <p e xfj, e sono tali 

 che, al variare di esse, il gruppo varia in una serie lineare. Le costanti 

 della seconda classe, il cui numero p non dipende dal gruppo scelto, ed è 

 quindi un invariante della curva, entrano irrazionalmente nei detti coeffi- 

 cienti. Di qual natura è la irrazionalità che qui si presenta? La risposta 

 è nota: la irrazionalità in questione è della stessa natura di quella, che 

 interviene (secondo Weierstrass) quando, date p funzioni distinte, 2p volte 

 periodiche di p variabili, cogli stessi periodi, si voglia esprimere, mediante 

 quelle, una nuova funzione dotata degli stessi periodi. In altre parole: i 

 coefficienti di y> e tp si possono esprimere razionalmente mediante i valori, 

 che certe p -(- 1 funzioni abeliane assumono, in relazione ai sistemi di valori 

 delle p variabili contenute in esse. 



Questo risultato, come dicevo, è noto, giacché esso discende immedia- 

 tamente dal procedimento di inversione applicato da Jacobi agli integrali 

 abeliani. Ma è interessante rilevare che la via seguita nel presente lavoro 

 premette di giungere allo stesso risultato, senza ricorrere agli integrali abe- 

 liani della curva, valendosi soltanto delle prime proprietà delle serie lineari, 

 e di un teorema del Picard sulle varietà algebriche, che ammettono gruppi 

 di trasformazioni birazionali in sè stesse. 



Ora la stessa via si applica, senza cambiamenti, alle superficie, ed 

 anche alle varietà algebriche a quante si vogliano dimensioni. Ad es., le 

 equazioni di una curva algebrica sopra una superficie contengono un certo 

 numero di costanti, alcune delle quali entrano razionalmente, e variano mentre 

 la curva varia in un sistema lineare ; le altre costanti, il cui numero p è 



