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un invariante della superficie (la irregolarità), entrano in modo irrazionale, 

 e precisamente nel modo abeliano, di cui sopra si è discorso. La inversione 

 delle funzioni abeliane (in senso esteso), che qui intervengono, permette di 

 formare p integrali, semplici, di prima specie appartenenti alla superficie 

 (o alla varietà algebrica a più dimensioni) ; e permette pure di indagare 

 gli eventuali casi di riducibilità, che quegli integrali possono presentare. 



La ricerca, che segue, è divisa in tre Note. In questa prima Nota io 

 stabilisco la relazione, che passa tra i sistemi algebrici di curve di una super- 

 ficie irregolare ed una varietà V, a p dimensioni, dotata di un gruppo tran- 

 sitivo cop di trasformazioni birazionali in sè, permutabili a due a due. Nella 

 seconda Nota esaminerò alcune particolarità che la V può presentare, delle 

 quali occorre tener conto nella terza Nota, dove vengono dedotti, dai p inte- 

 grali semplici, di prima specie, della V, i p integrali analoghi che la super- 

 ficie data possiede. 



1. La dimostrazione che segue si appoggia sopra un importante teorema 

 del sig. Enriques ('), secondo il quale una superficie irregolare possiede 

 sistemi algebrici di curve non contenuti in sistemi lineari. In modo preciso : 

 si consideri sulla superficie data 



(1) f{x,y,s) = Q, 



avente i generi p g ,p a , un sistema lineare, completo, regolare, |C| di curve; 

 cioè un sistema tale, che fra la dimensione r, il genere jt della curva gene- 

 rica, ed il grado n (cioè il numero delle intersezioni di due curve generiche) 

 passi la relazione 



(2) r = ri—rì-\- 1 



infiniti sistemi regolari esistono, come è noto, sulla superficie. Si costruisca 

 poi il più ampio sistema algebrico contenente il sistema lineare |C[; quel 

 sistema, composto di curve avente lo stesso ordine delle C , è completamente 

 determinato dal sistema lineare |C| ( 2 ). Ora il sig. Enriques dimostra che 

 il detto sistema algebrico ha la dimensione 



r + Po ~ Pa = n — n -f- 1 -\-p g . 



(!) Sulla proprietà caratteristica delle superficie algebriche irregolari; Kendiconto 

 delle Sessioni della E. Accademia di Bologna, 11 dicembre 1904; cfr. Comptes Eendus 

 de l'Acad. d. Sciences, Paris, 16 gennaio 1905. Si veda pure una dimostrazione del Severi 

 nei Eend. del Circolo Matem. di Palermo, t. XX. 



( 2 ) Si veda a questo proposito una osservazione del sig. Severi al n. 6 della sua 



Nota: Osservazioni sui sistemi continui di curve , Atti dell'Accad. delle Scienze di 



Torino, febbraio 1904. 



Eendicojsti. 1905, Voi. XIV, 1° Sem. 



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