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Se indichiamo con 



(3) P=P 9 —Pa>0 



l'irregolarità della nostra superficie, il sistema algebrico, di cui stiamo par- 

 land©, potrà essere indicato con S r+P . 



Esso contiene per ipotesi il sistema lineare |C|, oo r ; ma, in virtù della 

 stessa costruzione che dà l'Enriques di S r + P , esso contiene pure ogni sistema 

 lineare completo |Ci|, che sia determinato da una curva Ci di S r + P . I sistemi 

 lineari |Ci| formano una successione continua, cui appartiene |C|; essi hanno 

 quindi tutti lo stesso genere ti, lo stesso grado n, la stessa dimensione, 

 poiché questi caratteri sono numeri interi ; (va inteso però che, nel valutare 

 genere e grado, si deve far astrazione da eventuali punti base del sistema 

 considerato, i quali non siano base per S r + P ). Per quanto riguarda la dimen- 

 sione, non si può escludere veramente che particolari sistemi tra quelli ab- 

 biano una dimensione superiore alla dimensione n del sistema |Ci| generico. 

 Perciò, tenuto conto che il sistema di partenza ha la dimensione r, si è 

 condotti alla relazione r ^ r, . Che però debba qui prendersi il segno di 

 uguaglianza, segue dal teorema di Eiemann-Roch relativo alle superficie, il 

 quale dice che r x non può essere inferiore al secondo membro della (2), 

 cioè ad r. 



Riunendo in un solo enunciato questi vari risultati, concludiamo : 



Sopra una superfìcie, avente la irregolarità p, un sistema lineare 

 regolare oo r , è contenuto in un sistema algebrico od'~ + p ; questo è costituito 

 da ooP sistemi lineari oo r . Ogni curva del sistema algebrico appartiene 

 ad uno, e ad uno solo, di questi sistemi lineari. 



2. Il teorema precedente riduce lo studio del sistema algebrico S r+P 

 allo studio delle relazioni, che passano tra gli oo^ sistemi lineari contenuti 

 in quello. Conviene dunque riguardare questi sistemi come unità, od elementi, 

 di una varietà algebrica ooP. Volendo una rappresentazione geometrica più 

 sensibile dello stesso concetto, si immagini di fissare sulla superficie / un 



gruppo di r punti generici. Ciascuno dei sistemi lineari <x r , |C| , |Ci| , 



componenti H r + P , fornirà una determinata curva C , Ci , passante per 



quegli r punti, la qual curva potremo dire che rappresenta il sistema, cui 

 appartiene. Queste curve rappresentanti formano un sistema algebrico oo^, 

 che indicheremo con S p , il quale gode la proprietà che la sua curva gene- 

 rica C non appartiene ad alcun sistema lineare contenuto in S^; in altre 

 parole, la curva C non è equivalente a nessuna altra curva di S^. 



Ci converrà poi, nel seguito, riguardare i sistemi lineari |C| di S r+P , o 

 le curve C di S p , come punti di una varietà algebrica Y p a. p dimensioni. 

 A questa varietà si giunge così. La curva generica C di S p può immagi- 

 narsi segata, sulla superficie f = 0, da due o più superficie, che siano razio- 

 nalmente determinate, data la C . I coefficienti, che entrano nelle equazioni 



