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di queste, dipenderanno algebricamente da certi p parametri £ r '', | 2 , ... , £ p , 

 e quindi r agonalmente da ^tj -j- 1 parametri £ x , £ 2 , ••• , j legati da una 

 relazione algebrica 



(4) V(^,| 2 ,..., V0 = O. 



Questa definisce una varietà algebrica Y p a p dimensioni. Ad ogni punto £ 

 della Vp corrisponde una determinata curva C del sistema S p , o, se si vuole, 

 un determinato sistema lineare f 0 j entro S r+P . E si può supporre scelti i 

 parametri £ in modo, che, viceversa, a |C|, od a C, corrisponda un deter- 

 minato punto di Y p . Per ragioni che verranno spiegate in seguito, noi di- 

 remo che Y p è la varietà eli Picard connessa colla superficie irregolare 

 assegnata. 



Osservazione. — Poiché la curva generica C di S p non ha alcuna curva 

 equivalente in S p , segue che essa non può formar parte di una serie co 1 

 razionale di curve entro ad S p ; giacché le curve di una tal serie sarebbero 

 equivalenti tra loro ('). Questo fatto dà luogo al seguente enunciato, che ci 

 sarà utile tra poco : un punto generico della varietà di Picard non appar- 

 tiene ad alcuna curva razionale giacente in quella varietà. 



3. Ritorniamo a considerare gli od 5 sistemi lineari, che compongono il 

 sistema algebrico S r+J5 . Siano |Cj , |C\ | , |CI| tre di questi sistemi, distinti o 

 anche, in parte, coincidenti. Formiamo il sistema lineare (C'| definito dalla 

 relazione 



(5) |c'| = |c + c;-c,|. 



Il sistema |C'| si comporrà dunque di ogni curva, che, presa insieme ad una 

 curva di Ci , dia una curva equivalente alla curva composta C -j— CI . I ca- 

 ratteri del sistema |C'[ (dimensione, genere, grado) possono calcolarsi in fun- 

 zione dei caratteri (r , n , n) dei sistemi di partenza, ricorrendo a formule 

 note. Ma qui il calcolo è superfluo. Si osservi infatti che, se nella (5) si 

 fa variare con continuità il sistema j Ci | entro al sistema algebrico S r + P , 

 varierà |C'|, ma i suoi caratteri, che son numeri interi, non potranno alte- 

 rarsi. Ora se |Ci| = |Cl|, risulta |C'| = |C|. Dunque i caratteri di |C'| coin- 

 cidono coi caratteri di |C[. Risulta inoltre di qua che, variando |Ci|, il si- 

 stema lineare |C'j, definito dalla (5), varia entro ad un sistema algebrico, anzi 

 entro al sistema algebrico S r + P , che è già pienamente determinato da | C | . 



Conviene ora riguardare la (5) come atta a definire una trasformazione,, 

 mediante la quale ogni sistema | C | di S r + P vien mutato in un altro sistema 

 |C'| di S r+P . Questa trasformazione, che verrà indicata col simbolo (CI- — Ci|, 

 muta, ad es., il sistema C x nel sistema CI. 



(') Enriques, Un'osservazione relativa alla rappresentazione pararnetrica , n. 4; 



Eendic. del Circolo Matem. di Palermo, t. X. 



