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La detta trasformazione è pienamente nota, quando siano dati i due 

 sistemi |(X|,|Ci|. Ma la stessa trasformazione è determinata da infinite altre 

 coppie di sistemi lineari contenuti in S r+P . Infatti, dalle leggi formali che 

 reggono le addizioni e sottrazioni di sistemi lineari, segue che due trasfor- 

 mazioni |C! — Ci j e |C- — C| coincidono, che è dunque simbolicamente 



| CI — 0,1 = 10' — C|, 



quando sia 



iCx + c'iHC-f c;!, 



od anche quando risulti 



| c | ==== i c -4- ci — cj, 



quando dunque |C'| sia il trasformato di |C| mediante la prima trasforma- 

 zione. Ne viene che, dati due sistemi lineari ad arbitrio entro S r+P , è 

 individuata la trasformazione che muta l' uno nell'altro. Ne viene ancora 

 che tutte le trasformazioni tra gli cop sistemi lineari di S r + P possono rap- 

 presentarsi col simbolo |C — C|, ove si tenga fermo il sistema |C| e si 

 faccia variare [C'j entro S t - +P . Le dette trasformazioni formano dunque una 

 serie co?. 



Questa serie è un gruppo. Premesso, infatti, che la serie contiene la 

 trasformazione identica |C- — C|, e, di ogni trasformazione |C — C| contiene 

 la inversa, si osservi che, date due trasformazioni, le quali potranno sempre 

 rappresentarsi con |C — C| e |C" — C'|, il prodotto di quelle è la trasfor- 

 mazione (') 



|C' — C| + |C" — C'| = [C" — C|, 



che appartiene pure alla serie. È inoltre 



|C"— C'i + |C — C| = |C" — C|, 



donde si conclude che il gruppo si compone di trasformazioni permutabili 

 a due a due. 



Per enunciare questi risultati sotto la forma più semplice, giova pre- 

 mettere l'osservazione seguente. Noi abbiamo applicato sinora le trasforma- 

 zioni |C — C| ai sistemi lineari |C| contenuti entro S r+P - Ma questa limi- 

 tazione non è necessaria. Si parta da un sistema regolare qualsiasi | D | , oo s , 

 sulla superficie, e si consideri il sistema algebrico S s+P che esso determina. 

 La trasformazione \C — C| muta | D| in un altro sistema 



|D'| = |D + C — C| 



(') Dato il simbolo da noi adottato per rappresentare una trasformazione, il prodotto 

 di trasformazioni viene indicato col segno -\- 



