— 553 — 



di S s+P . Questa affermazione si giustifica col ragionamento già adoperato: 

 si tengano fissi i sistemi |D[ e |C|, e si faccia variare con continuità |C'| 

 entro al sistema algebrico S r+P che lo contiene. Il sistema |D'|, definito 

 della relazione precedente, varierà con continuità entro ad un sistema alge- 

 brico contenente |D|, precisamente entro S S+JJ , che è individuato da |D|. 

 Possiamo dunque asserire che: 



Ad una superficie di irregolarità p è legato un gruppo transitivo <x>p 

 di trasformazioni, permutabili a due a due, ciascuna delle quali muta 

 ogni sistema lineare regolare di curve sulla superficie in un altro sistema 

 lineare, avente gli stessi caratteri, ed appartenente a quel sistema alge- 

 brico, che è determinato dal sistema lineare primitivo. Una trasforma- 

 zione del gruppo è individuata, quando si conoscano due sistemi, che siano 

 mutati l'uno nell'altro da quella trasformazione. 



4. Lo stesso teorema si può presentare sotto un'altra forma. Si ricordi 

 che gli oop sistemi lineari, componenti un sistema algebrico S r + P , furono 

 rappresentati sui punti di una varietà algebrica , la varietà di Picard. 

 Una trasformazione algebrica biunivoca tra quei sistemi, come è la |C — C|, 

 ha per immagine una trasformazione birazionale entro la varietà di Picard. 

 Dunque : 



La varietà di Picard Y p ammette un gruppo transitivo <x>p di tras- 

 formazioni birasionali in sè stessa, permutabili a due a due. Una di 

 queste trasformazioni è individuata, quando si conoscano due punti cor- 

 rispondenti. 



Fissato un punto 0 della varietà Y p , come origine, ad ogni trasfor- 

 mazione del gruppo corrisponde quel punto di Y p , in cui 0 si muta mediante 

 la detta trasformazione. Si può dire, in conseguenza, che la varietà di Picard 

 rappresenta, coi suoi punti, le trasformazioni del gruppo nominato. Questo 

 gruppo verrà chiamato gruppo di Picard legato alla superficie f, o alla 

 varietà Y p , e verrà indicato con Gr p . Risulta poi, da tutte le considerazioni 

 fatte, che la varietà di Picard non dipende affatto dal sistema lineare |C| e 

 dal relativo sistema algebrico 8 r+p , di cui ci siamo serviti per costruirla. 

 In termini precisi : fissato sulla superficie f un qualsiasi sistema algebrico, 

 il quale contenga ccp sistemi lineari distinti, si può stabilire una corri- 

 spondenza birazionale tra i detti sistemi ed i punti della varietà di Picard 

 annessa alla superficie. 



Data la superficie f, la varietà di Picard è pienamente determinata, 

 quando si faccia astrazione da trasformazioni birazionali ('). 



(!) I sistemi lineari |C| , |D|, ... , di cui ci siamo serviti finora, erano supposti rego- 

 lari. Questa restrizione non è veramente essenziale, ed ha solo lo scopo di render sempre 

 possibile l'applicazione di operazioni del tipo \C — C|, mentre, ove |D| non fosse rego- 

 lare, potrebbe non esistere il sistema |D'| = |D-j-C — C|. A questo inconveniente si 

 potrebbe ovviare con opportune convenzioni, le quali però complicherebbero, senza scopo, 

 la trattazione. 



