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5. Siamo dunque condotti allo studio delle varietà algebriche Y p , a, p 

 dimensioni, che ammettono un gruppo transitivo ooP di trasformazioni Irra- 

 zionali, permutabili a due a due. Ora la determinazione di queste varietà 

 (a parte il caso p = 1 , che, secondo lo Schwarz, conduce alle curve ellit- 

 tiche o razionali) è uno dei più brillanti risultati ottenuti, in questo campo, 

 dal sig. Picard. L' illustre geometra esaminò anzitutto l' ipotesi p = 2 , e 

 giunse così a scoprire quelle interessanti superfìcie, che furono chiamate 

 iper ellittiche (')• In seguito il sig. Picard estese il suo metodo di ricerca 

 al caso di p qualsiasi, ottenendo il seguente teorema ( 2 ) : 



Una varietà algebrica a p dimensioni 



(4) w=o> 



la quale ammetta un gruppo transitivo oop di tras formazioni birazionali 

 in sè } permutabili a due a due, possiede p integrali distinti di differen- 

 ziali totali: 



(6) Ul = Jpf fa + P' 0 + •;• + Pf %, (i=Ì,2,..., P ) ? 



dove le P sono funzioni razionali delle variabili £ } , ,£ 2 , • • • .., £p+i , legate 

 dalla relazione (4). L'inversione degli integrali (6) permette di esprimere 

 le f mediante funzioni uniformi, 2p volte periodiche, di p variabili: 



(7) £a = ?Pa(«i , ih , • • • , Up) (h= 1 , 2 , . . . ,p + 1) . 



Chiameremo le (7) funzioni abeliane, secondo la denominazione adottata 

 dagli analisti francesi. 



È essenziale per noi rilevare che, nel caso presente, gl'integrali (6) 

 sono tutti di prima specie, cioè si conservano finiti in tutti i punti (£) 

 della V p . Ciò risulta dalla profonda analisi, a cui il sig. Painlevé ha assog- 

 gettato la ricerca del sig. Picard, esaminando in particolare il caso p = 2, 

 e facendo poi vedere come il suo procedimento si estenda ad ogni valore 

 di p ( 3 ). Il sig. Painlevé dimostra infatti che, se i p integrali (6) non sono 

 tutti di prima specie, si può, mediante opportune trasformazioni birazionali 

 sulle £ e lineari sulle u, fare in modo che tutte le £ si esprimano razio- 

 nalmente in funzione di u x , o di u[ = e u > , Ora, in entrambi i casi, la curva 



u t = cost. , . . . , u p — cost. 



(') Mémoire sur la théorie des fonctions algébriques de deux variables, Chap. Ili; 

 Journal de Mathématiques, 1889. 



( 2 ) Eendiconti del Circolo Matem. di Palermo, t. IX. 



( 3 ) Sur les fonctions qui admettent un théorème d'addition, Acta Mathematica, 

 t. 27 (1903). 



