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della V p sarebbe razionale: e di curve siffatte ne passerebbe una per ogni 

 punto di Y p , il che venne escluso nell'Oss. al n. 2. 



6. La rappresentazione paramedica (7) della varietà di Picard Y p per- 

 mette di definire analiticamente, nel modo più semplice, le ooP trasforma- 

 zioni del gruppo di Picard Q p . È noto infatti che una, generica, di queste 

 è rappresentata da congruenze del tipo 



(8) u'i == Ui -f- h , (i = 1 , 2 , . . . ,p) , 



dove m , u't sono i parametri relativi a due punti (u) , (ti) corrispondenti, 

 le hi sono p costanti, e le congruenze scritte hanno come moduli i 2p periodi 

 relativi all'integrale Ui. Il fatto che le (8) definiscano una trasformazione 

 algebrica (birazionale) entro Y p , è l'interpretazione geometrica del teorema 

 d'addizione relativo alle funzioni abeliane. 



Se una stessa trasformazione (8) della Y p in sè stessa muta i punti 

 (u) , (v) nei punti (u) , (v'), sarà 



Ui — Ui = v r i — Vi (i= 1 ,2 , . . . ,p). 



D'altra parte, se a quei punti di Vp corrispondono, ordinatamente, sulla super- 

 ficie f i sistemi lineari |C| , |D| , |C'| , |D'|, contenuti entro al sistema alge- 

 brico S r+P , sarà 



|C'— C| = |D' — D|. 



Le due relazioni scritte esprimono adunque uno stesso fatto, in simboli ana- 

 litici la prima, geometrici la seconda. Segue la perfetta equivalenza delle 

 due relazioni 



p,, |C + D'| = |C' + D|, 



donde si traggono alcune interessanti considerazioni. 



Si osservi infatti che la varietà possiede, oltre alle co? trasforma- 

 zioni birazionali (8) (di prima specie), costituenti il gruppo G p , una seconda 

 serie (non gruppo) di trasformazioni birazionali (di seconda specie), che sono 

 in volutone, e vengono definite da congruenze del tipo 



Ui + u® = ki, (i= 1 , 2 , . . . ,p), 



dove le hi sono costanti. Le coppie di punti, corrispondentisi in una trasfor- 

 mazione di seconda specie, formano, come diremo, una involuzione g\ sulla. 

 Y p ) dove l'indice superiore 1 non sta ad indicare la dimensione della invo- 

 luzione, ma esprime che, dato un punto arbitrario di Y p , è individuata la 

 coppia che lo contiene. Alle coppie di una g\ corrispondono sulla superficie f 

 coppie di sistemi lineari |C|,|C (1) | ; |D| , |D ll) | ; . . . Ora risulta dalle cose 

 dette che sistemi accoppiati danno, come somma, un unico sistema lineare : 



|C + C (1) | = |D + D (1) |= . . . 



