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Supponiamo ora che il punto £ della Y p vari sopra una curva, o super- 

 ficie, . . . , o varietà algebrica a d<^p dimensioni, Wd, contenuta nella Y p . 

 Allora ci fornirà un integrale semplice di prima specie della Wd . 



Attribuendo ad i i valori 1 ,2 , . . . , p , otterremo così, in generale, p inte- 

 grali distinti di W (l . Ma può succedere, per una particolarità di Wd e 

 (come vedremo) di V^, che alcuni di quei p integrali conservino valori co- 

 stanti, mentre il punto £ descrive Wd, oppure che, tra i p integrali w,-(£) 

 considerati sopra Wd, passino delle identità lineari a coefficienti costanti. 

 Le due ultime ipotesi non sono però distinte, giacché la seconda si riduce 

 alla prima, pur di sostituire, come è lecito, agli integrali convenienti 

 combinazioni lineari di quelli. Possiamo dunque supporre, senza restrizioni, 

 nelle dette ipotesi, che, quando il punto £ percorre la varietà W d , le funzioni 



(9) ufè) , th(u) , . . . , « a (£) , (q<p) 



forniscano q integrali distinti di Wd, mentre 



(10) u q+l (§) , u q+2 (g) u p (£) 

 conservino valori costanti su W^: 



(11) = k q+l , . . . , Up(§) = k p . 



Poiché i punti di W d soddisfanno colle loro coordinate alle (11), sarà intanto 

 d q. Ora io dico che « nelle ipotesi in cui ci troviamo, la W d è conte- 

 « nuta in una varietà algebrica a q dimensioni, V 3 , appartenente a Yp, e 

 « dotata di un gruppo transitivo oo? di trasformazioni birazionali in sé, per- 

 ii mutabili a due a due ». 



Applichiamo infatti alla Wd tutte quelle trasformazioni del gruppo , 

 che mutano un punto di Wd in un punto di Wd ; per ogni scelta di due punti 

 corrispondenti su W d , si avrà una di queste trasformazioni, sicché le dette 

 trasformazioni saranno al più co 2d . Ognuna di esse sarà rappresentata da re- 

 lazioni del tipo (8'), dove però, tenuto conto delle (11), si dovrà porre: 



hq+i = • • • = hp = 0 i 

 scriveremo dunque quelle relazioni così : 



Ora qui si possono presentare due casi: 



1) 0 la Wd è mutata in sé stessa da tutte le trasformazioni nomi- 

 nate; queste formano dunque un sottogruppo oo d del gruppo G p . La W d ha, 

 salvo la dimensione, le stesse proprietà della Y p , e possiede quindi d inte- 

 grali semplici, distinti, di prima specie. Ricordando le ipotesi (9), si con- 



