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elude che d = q. In questo caso, la nostra afférmazione è senz'altro giu- 

 stificata. 



2) Oppure la W d è mutata da quelle trasformazioni in infinite va- 

 rietà algebriche della stessa dimensione, le quali tutte segano la Wd in un 

 punto almeno, e formano con questa una varietà algebrica, a d x ^> d dimen- 

 sioni, W d , , contenuta in Y p . Qui si noti che tutti punti della Wd, soddi- 

 sfanno, colle loro coordinate, alle (11), in virtù delle (8"). Ne viene che la 

 dimensione d x non può superare q : sicché d <* dì ^S- q . Si applichi ora a 

 Wd, il ragionamento fatto per Wd- Si vedrà che: o la Wd, è mutata in 

 sè da cc d > trasformazioni costituenti un sottogruppo di G p , ed allora è di = q, 

 ed il lemma è dimostrato ; oppure Wd, è contenuta in una varietà algebrica 

 a d 2 dimensioni, dove d, <T d,. <- g . 



È chiaro che, ripetendo un numero finito di volte questo procedimento, 

 si giunge a costruire una varietà algebrica Y q contenente W d , contenuta 

 in Y p , e dotata di un gruppo oo«,G q , di trasformazioni birazionali in sè, 

 permutabili a due a due. Per ogni punto di Y q sono verificate le (11), 

 mentre le funzioni (9) forniscono q integrali semplici, distinti, di prima 

 specie, che la Y q possiede. 



8. 11 gruppo G q è un sottogruppo algebrico del gruppo G p ; anzi la 

 particolarità, che stiamo esaminando, della Y p consiste appunto in ciò, che 

 il gruppo G p possiede un sottogruppo algebrico. 



Ogni punto di Yp, mediante le trasformazioni di G q , si muta nei punti 

 di una Y q , birazionalmente identica a quella sopra considerata. Di queste 

 Y q ne esistono ccP-i entro Y p ; esse formano un tal sistema, che per ogni 

 punto di Y p ne passa una. Ognuna di esse è rappresentata da congruenze 

 del tipo (11), ove le costanti ki siano scelte convenientemente. Le (9) for- 

 niscono poi q integrali semplici, distinti, di prima specie, di ciascuna Y q . 



Il gruppo G p opera imprimitiv amente sul sistema delle Y q ; vale a 

 dire : una trasformazione di G p o muta ogni Y q in sè stessa (nel qual caso 

 la trasformazione appartiene a G q ), o scambia le Y q tra loro. Il sistema 

 delle oo2>-2 Y 9 ì ove si consideri ciascuna Y q come elemento, può dunque 

 riguardarsi come una varietà algebrica, a p — q dimensioni, trasformata in 

 sè da un gruppo di oop - ? trasformazioni birazionali, permutabili a due a 

 due. Questa varietà possiede dunque p — q integrali semplici, distinti, di 

 prima specie, precisamente gli integrali (10), dove £ è un punto comunque 

 scelto entro la Y q — elemento che si considera. 



9. Riprendiamo la varietà Y p , che stiamo esaminando. Essa possiede, 

 come si disse, un sistema di oo^-? varietà algebriche Y q , di cui ciascuna 

 è trasformata in sè da un sottogruppo G q di G^. Ora vedremo che la Vp 

 possiede un secondo sistema costituito da oo? varietà algebriche Y.p-q-, le 

 quali sono tutte trasformate in sè da un secondo sottogruppo algebrico & P - q 

 di GL. 



