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La proprietà enunciata è implicitamente contenuta in un noto teorema 

 dei sigg. Picard e Poincaré sugli integrali riducibili ('). Ma le considera- 

 zioni precedenti ci conducono in modo semplice a ritrovare il teorema stesso, 

 ed a costruire algebricamente il sistema delle V p - q . 



1) Si supponga anzitutto che nella Y p esista una varietà algebrica 

 a p — q dimensioni, Wp_ 3 , la quale seghi in un sol punto ciascuna delle Y q . 

 Poiché questa Wp_ ? è in corrispondenza birazionale col sistema qo2>-2 delle 

 Y q , essa possederà gli stessi p — q integrali di prima specie (10), che spet- 

 tano a quel sistema. Allora noi possiamo applicare alla W^_ 3 il lemma 

 del n. 7, il quale ci dice che la W p - q è contenuta in una varietà algebrica 

 a p — q dimensioni, Y p - q , che è trasformata in sé da un sottogruppo alge- 

 brico Gj3_ g del gruppo Q p . Nel caso presente dunque la W^_ g stessa è una 

 delle Vp_ 3 che andavamo cercando, mentre le altre Y p _ q si ottengono appli- 

 cando le trasformazioni di G p ^ q ai singoli punti di Y p . 



2) In generale però, 0 non esisterà, 0 non si conoscerà una W p - q 

 secante in un sol punto ciascuna Y q . Ma si potrà sempre costruire in Y p 

 una W p - q algebrica, secante in un numero finito di punti, ad es. in n punti, 

 ogni Y q . Il gruppo delle n intersezioni determina, in ogni Y q , una invo- 

 luzione g'n~ l (n. 6); questa avrà un certo numero v(=n 2q ) di punti n upl \ 

 costituenti un gruppo r N . I gruppi J\ , che così si ottengono nelle 00*-? 

 Y q , formano una varietà algebrica a p — q dimensioni, Y p - q . Ora io dico 

 che questa Y p - q è trasformata in sé da un sottogruppo G p ^ q di G p . 



Giova notare, a tal fine, che, prendendo in tutti i modi possibili n punti 

 in una V 9 , si ottengono in questa oo? involuzioni <?" _1 , ciascuna delle quali 

 possiede un gruppo r*, di v punti n upli . Variando poi la Y q nel sistema 

 ccP-v cui appartiene, si avranno in tutto <x>p g','- 1 ed altrettanti gruppi J\ . 

 Ora ogni trasformazione di G p muta una di queste g%~ 1 in un'altra g%-*, 

 ed il gruppo r„ della prima nel gruppo Z\ della seconda. In breve, 

 opera sugli 00^ gruppi di punti i\ , come sui singoli punti di Y p ; salvo 

 che, mentre esiste una sola trasformazione di G p che muta un punto in sé 

 stesso, esistono invece v trasformazioni che mutano un r v in sé stesso. 



Possiamo esprimere questo fatto così. Immaginiamo una nuova varietà 

 algebrica Y' p , i cui punti siano in corrispondenza birazionale coi gruppi JH V 

 di Y p ; sicché tra Y p e Y' p passi una corrispondenza (v , 1). Ogni trasfor- 

 mazione T di G p , operante su Y p , ha per corrispondente una trasformazione 

 birazionale T' di V'j, in sé stessa; ma la stessa trasformazione T' di Y' p 

 proviene da v trasformazioni diverse T di Y p . Le dette trasformazioni T 



(') Si veda, ad es., la Memoria del sig. Poincaré dell'American Journal, Bd. 8. In 

 quel teorema si suole parlare di integrali abeliani riducibili (cioè relativi ad una curva) ; 

 ma la dimostrazione si estende anche al caso che stiamo trattando. Cfr. anche una Nota 

 del sig. Painlevé nei Comptes Kendus de l'Acad. d. Sciences, Paris, 30 marzo 1896. 



