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Sia infatti e un'area piana, limitata da una linea s; n la normale nei 

 punti di 5 nella direzione che entra nell'area a; x,y le coordinate carte- 

 siani ortogonali di un punto qualsiasi del piano di e; e V l'integrale re- 

 golare delle equazioni: 



I (nei punti di a) J 2 (J°~V) = 0 , 



(1) ) 



| (nei punti di s) V = fi , — / 2 , 



~ò 2 ~ò 2 



dove J 2 = — - 4- — - , e dove ancora A , f 2 sono due funzioni arbitrarie dei 



~òx z ~òy 2 ' 



punti di s , aventi la prima le derivate dei due primi ordini rispetto ad s , 

 la seconda la sola derivata prima rispetto ad s. 

 Si ha nei punti di s: 



df x ltfdx_ .l>V_dy_ ~òY dx , ~aV dy 



ds ~ix ds ~òy ds ' ~lx da * ~òy dn ' 



per cui sarà: 



~òV dy dfx dy ~ò\ T dfx dx_ , dx_ 



~ì>x ds' ds dn ' ~òy ds dn ds ' 



e quindi, derivando rispetto ad s e facendo uso delle note forinole: 



dx _ dy_ dy dx 



ds dn ' ds dn ' 



otteniamo : 



d /~àV\ A// 1 dfi dy\ _ 



ds \òx / ds\ ds ds dn) 



tY dx D'V dy W dy D 2 V dx 

 ~òx 2 ds ' ~òx ~òy ds ~òx 2 dn ^ ~òx ~òy dn 



(2) 



d Idfxdx . dx\ 



ds \ ~òy ; ds \ ds dn ds I 



1> 2 Y dx 1> 2 Y dy p 2 V dy D 2 V dx 



"òx ~òy ds ~òy 2 ds !>x ~òy dn 1y 2 dn ' 



Se si pone: 



(3) j n=v + ^y , ^=t u , -^~ = t 12 , ^ = t 22 , 



T„ + T„ = T; 



^ ' c?s \rfs dra ' 2 ds) ' rfs \c?s (ira / ' 



