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Matematica. — Sugli integrali semplici appartenenti ad una 

 superfìcie irregolare. Nota del Corrispondente G. Castelnuovo. 



10. Riprendiamo ora in esame la superficie irregolare (') 

 (1) f(x,i/,s) = 0, 



ed un sistema algebrico S p di curve sopra di essa (n. 2), sistema dotato 

 della proprietà, che una sua curva C generica non è equivalente a nessun'altra 

 curva di S p . Le curve di Sp si possono rappresentare, come fu già detto, 

 sopra i singoli punti della varietà di Picard a p dimensioni 



(4) V(£ ( ,£ 2 ,...,£ p+1 ) = 0, 



la quale possiede p integrali semplici, distinti, di prima specie 



(6) »i(é).,'«t(£) 



Se il punto | descrive una curva algebrica y entro Y p , gli integrali (6) 

 divengono integrali abeliani, di prima specie, relativi alla curva y. Ora ai 

 punti di y corrispondono sulla superfìcie f le curve di un sistema algebrico 

 oo 1 , che indicherò con S^ Per ogni punto (x) di f passano certe curve C x , 

 C 2 , . . • , G m (dove m^ì ) di Si, cui corrispondono i punti , £ c2) , . . . £ (m> 

 della curva y. Formiamo la somma 



(12) MP") + H H > (*' = i , 2 ,...,.?) ■ 



Questa, tenuto conto delle relazioni che passano tra le coordinate 

 (%,y,g) del punto (x) di /, e le f, si trasforma in un integrale semplice 

 di 1 a specie della superficie (1) 



li = j , y , s) dx + Bi(« ,y ,s)dy, 



dove A,- , Bi sono funzioni razionali ( 2 ). 



Attribuendo ad i i valori 1 , 2, . . . p, abbiamo così p integrali sem- 

 plici, di prima specie, della superficie f, integrali i cui periodi sono combi- 

 nazioni lineari, a coefficienti interi, dei periodi di u x , u 2 u p , rispetti- 

 vamente. 



(') V. le due Note sullo stesso soggetto a pag. 545, 593 di questi Eendiconti. 



( 2 ) Questo procedimento, applicato a tutti gli integrali abeliani di prima specie 

 della curva y, permette al sig. Humbert (Mem. citata, Journal de Mathématiques 4 e s., 

 t. X) di concludere che una superficie, contenente un sistema come Si , possiede almeno 

 un integrale semplice di prima specie. 



