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Ora, se le (12) forniscono effettivamente p funzioni di x,y,z, che 

 siano linearmente distinte tra loro, noi otteniamo, col procedimento indicato, 

 un sistema di p integrali semplici, linearmente distinti, della superfìcie f=0, 

 e giungiamo senz'altro al risultato cui tendiamo. 



Ma si può sospettare: 



1) che le somme (12) forniscano tutte delle costanti; 



2) che qualcuna delle somme (12) sia costante; 



3) che le p funzioni di x,y,z fornite dalle (12) non siano tutte 

 distinte, ma possano esprimersi linearmente in funzione di q di esse, dove 

 0<q <p. 



Premesso che il caso 3) non differisce dal caso 2), come risulta sosti- 

 tuendo agli integrali «i(£) , . . . , u p ('£) , convenienti combinazioni lineari di 

 questi, noi dimostreremo: 



I) che il caso 1) non può presentarsi nelle ipotesi fatte; 

 II) che se q delle somme (12) forniscono delle funzioni di x,y,z, 

 e le altre p — q danno delle costanti, la varietà di Picard Y p possiede due 

 sistemi algebrici di imprimitività V 9 e V p - q , tenendo conto dei quali si 

 ritrovano di nuovo i p integrali della f. 



11. Dimostriamo anzitutto, per assurdo, che il caso 1) non può presen- 

 tarsi. Si supponga, se è possibile, che, variando il punto {%) sulla superficie 

 f, variando quindi le curve Ci , C 2 , . . . , G m del sistema Si che escono da esso 

 (alle quali curve corrispondono i punti , £ (2) . . . . , g (m) di y), le somme 

 (12) rimangano tutte costanti. Ciò significa che il gruppo £ n> ,£ <2> , . . . , £ Cw) 

 varia entro una involuzione g™~ 1 della (n. 6) ; quindi, sopra f, la curva 

 somma C, — f- C* -f- ■ ■ • — |— G m varia entro ad un sistema lineare. Il sistema 

 algebrico di curve S, sopra f sarebbe dunque tale, che la somma delle m 

 curve di Si , uscenti da un punto di f, varierebbe entro ad un sistema lineare 

 al variare di questo punto. 



Ma un sistema Si di curve, il quale goda questa proprietà, è. per un 

 teorema del sig. Severi ('), contenuto totalmente entro un sistema lineare. 



(!) Il teorema in questione si enuncia così: Se sopra una superficie f si ha un 

 sistema algebrico {irriducibile) co 1 , Si, di curve, tale che la curva composta delle m 

 curve di Si , che escono da un punto di f, vari entro un sistema lineare al variare 

 del punto, il sistema Si stesso è contenuto totalmente entro ad un sistema lineare. Il 

 teorema si deduce in modo semplice da un lemma notevolissimo sulle curve algebriche, che 

 il Severi ha enunciato in una sua Nota dei Comptes Eendus de l'Acad. d. Sciences, 3 aprile 

 1905: «se in una curva algebrica si ha una serie 2 algebrica, irriducibile, oo 1 , di gruppi 

 di punti, tale che il gruppo composto degli m gruppi di 2 contenenti un punto della 

 curva vari in una serie lineare al variare del punto, allora tutti i gruppi di 2 apparten- 

 gono ad una serie lineare ». Le dimostrazioni del lemma e del teorema si troveranno 

 nella Memoria del sig. Severi: Il teorema di Abel sulle superficie algebriche, che verrà 

 presto pubblicata negli Annali di Matematica. 



Nella redazione preliminare di questo mio lavoro, che ha dato luogo alla Nota dei 



