E ciò contraddice alla ipotesi fatta, secondo la quale le curve di Si non 

 sono equivalenti a due a due. 



12. Non possiamo invece escludere la ipotesi 2) (n. 10), la quale si 

 verifica quando, delle p somme (12), alcune, q (0 < ^ < j)), forniscono fun- 

 zioni linearmente distinte di x ,y , <r , mentre le rimanenti p — q danno 

 delle costanti. Dobbiamo dunque esaminare quale particolarità si presenti, se 



(13) « { (r»)+ • • ■ +^ (m) H ! <( * ' y ' " } !* = 1 ' 2 ; * ' ' ' q) \ 



\h (i = q + 1 , . . . ,p), 



dove le ki sono costanti. A tal fine fissiamo nella varietà di Picard Y p una 

 qualsiasi involuzione g^+i, ad es. quella rappresentata dalle congruenze 



(14) Àtf)"Hf i >tl 6B H [-M^ mì )=0 (i=l,2,...,p). 



In virtù di questa g™+ x , ad ogni punto (x) di f , e quindi ad ognuno degli 

 oo 2 gruppi di m punti della curva y che compariscono nelle (13), viene a 

 corrispondere un unico punto (J) della varietà Y p , punto tale che 



(15) *<&^~^#? (*' =1 > 2 " ■■.*)' 



(—ki (i = q-± 7 l ì q-t-2,...,p). 



Otteniamo così oo 2 punti (f) di Y p , od, in casi particolari, oo 1 , il cui 

 luogo F (superficie o curva) è in corrispondenza razionale colla superficie 

 data /; precisamente ad ogni punto (x) di f corrisponde un punto (£) di F, 

 mentre ad ogni punto di F corrisponde su /, o un numero finito di punti, 



0 gli oo 1 punti di una curva algebrica (variabile in un fascio irrazionale). 

 In ogni caso i q integrali Ui{£) (dove i=l ,2 , . . . , q) di F forniscono q 

 integrali distinti — Ii(x,y,z) di f. 



Ora l'ente algebrico F contenuto nella varietà di Picard Y p è tale, che 



1 p integrali di forniscono solo q<C.P integrali distinti di F, come ap- 



Comptes Rendus (23 gemi. 1905), io mi appoggiavo, per superare la difficoltà posta ora 

 in luce, sopra considerazioni di Analysis situs, concernenti il confronto dei cicli lineari 

 relativi alla superfìcie / ed alla varietà Y p . Nel preparare questa redazione definitiva mi 

 sono accorto clie quelle considerazioni potevano prestarsi a qualche obbiezione, per superar 

 la quale si andava incontro a serie complicazioni. Intanto il signor Severi, imbattutosi 

 in difficoltà analoghe, era riuscito a vincerle mediante il lemma ed il teorema sopra 

 enunciati. Grato dell'autorizzazione che il sig. Severi mi accorda, approfitto anch' io di 

 quelle proprietà veramente notevoli. 



Aggiungo che la difficoltà nominata si supererebbe pure, nel mio caso, ove si dimo- 

 strasse, valendosi della rappresentazione parametrica (7) della V^, , il seguente teorema 

 relativo a quella varietà : « Si abbia, entro Y p , un sistema algebrico di varietà W, a 

 p — 1 dimensioni, e si considerino le intersezioni £ (1> , £ (2 > , . . . , f'"' 5 di una W con una 

 curva algebrica generica y di V^. Se le p somme (12) non variano, al variare della W, 

 il sistema descritto dalla W è contenuto* totalmente in un sistema lineare ». 



Rendiconti. 1905, Voi. XIV, 1° Sem. 



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