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pare dalle (15). Ci troviamo dunque nel caso previsto dal teorema del n. 9. 

 Concludiamo che, nelle ipotesi attuali, la varietà di Picard Y p contiene un 

 sistema ooP-? di varietà algebriche Y q , sopra le quali il gruppo Gr p opera 

 imprimitivamente ; ciascuna Y q è mutata in sè stessa dalle trasformazioni 

 di un sottogruppo algebrico G q di G p . Una di queste Y q , luogo di punti (£) 

 soddisfacenti alle congruenze 



U$£)m — fa (i = q 4- 1 , q + 2 , . . . , p) , 



contiene entro a sè l'ente algebrico F. 



Viceversa, se la varietà di Picard Y p gode la particolarità ora enun- 

 ciata, certo potrà presentarsi il caso che stiamo esaminando. Basta a tal 

 fine scegliere la curva y entro una delle V 2 , giacché allora per tutti i punti 

 di y gli integrali u q+ì , u q+ì , . . , u p conservano valori costanti, sicché si 

 troveranno verificate relazioni del tipo (13). Noi otteniamo dunque soltanto 

 q integrali I, , I 2 , . . . , l q della nostra superficie /; ma ciò dipende dal fatto, 

 che la scelta particolare della curva y entro Y p ci permette di usufruire' 

 soltanto di q tra i p integrali che Y p possiede. 



È facile ora vedere come si otterranno i p — q integrali della super- 

 ficie f, che non si sono presentati sinora. Basta ricordare che, nel caso attuale, 

 la varietà Y p , contenendo oo?-? Y q trasformate in sè da un gruppo Gc q , con- 

 tiene, in conseguenza, oo? V p _ 9 trasformate in sè da un gruppo G p _ 9 (n. 9). 



Fissiamo entro una di queste Y p - q una curva algebrica / generica, 

 ed applichiamo ad essa il procedimento che poc' anzi si è applicato a y. 

 Otterremo così, mediante gli integrali u q+x {%) , . . . , u p {£) di V p , certi p — q 

 integrali l q + x {x , y , 2), . . . , l p (x , y . s) di f, che saranno linearmente distinti 

 tra loro e dai precedenti. E riusciremo in tal modo a completare il numero 

 totale p degli integrali semplici, distinti, di prima specie, che appartengono 

 alla superficie /. 



Risulta poi chiaro che l'aver trovato separatamente due gruppi, uno di q, 

 l'altro di p — q integrali, dipende dalla scelta particolare della curva com- 

 posta y 4" f CDe s i è adoperata. Se, dopo aver reso connessa una tal curva 

 col far passare / e y per uno stesso punto comune a Y q e a Y p _ q , si fa 

 variare con continuità la curva y -j- /, in modo che essa diventi irriducibile, 

 restando algebrica, si perverrà ad una curva F, la quale, collo stesso proce- 

 dimento applicato prima a y e /, fornirà insieme p integrali distinti di f. 



Concludiamo quindi che, qualunque particolarità presenti la varietà di 

 Picard Y p , sempre la superficie f possiede p integrali semplici, distinti, di 

 prima specie. Che ogni altro integrale semplice, di prima specie, possa espri- 

 mersi linearmente mediante quelli, sarà dimostrato tra poco. 



13. Fra i vari modi che permettono di fissare un sistema di p integrali 

 semplici, distinti, della superficie /, giova notare il seguente, che è fon- 

 dato sulle considerazioni dell 1 ultimo numero. 



