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Ricordiamo che, valendoci di una curva algebrica y situata in Y p , noi 

 siamo riusciti a costruire, entro Y v , una superficie (eventualmente curva) 

 algebrica F, la quale è in corrispondenza razionale colla superficie data f ; 

 precisamente ad ogni punto (x) di f corrisponde un punto (£) di F. I p 

 integrali semplici, distinti, di prima specie di Y p , che abbiamo indicato 

 con Ui(£), ci forniscono p integrali di F, che sono distinti, se la Y p non 

 possiede divisioni algebriche di imprimitività (n. 8). In questa ipotesi, noi 

 possiamo assumere, come valori di p integrali distinti I; di f nel punto (se), 

 i valori che hanno gli integrali Ui{%) nel punto corrispondente £ di /*. 

 Possiamo dunque porre 



li{x , y, z) == Ui{$) , (t = 1 ! , % , . . '. ,pY, 



le congruenze avendo per moduli i periodi di Uj. Otteniamo così p integrali 

 di f, i cui periodi sono combinazioni lineari, a coefficienti interi, dei periodi 

 degli integrali Ui di Y v . Che anche i primi periodi, per ciascun integrale, 

 siano esattamente in numero di 2p, risulterà dalle considerazioni del nu- 

 mero seguente. 



Se invece la Y p ammette due sistemi algebrici di imprimitività, com- 

 posti rispettivamente di Y q e di V P _ 9 , allora, col mezzo di una curva y 

 tracciata in una Y q , e di una / tracciata in una V p _ 2 , noi possiamo co- 

 struire due superficie (eventualmente curve) F , F', la prima delle quali sarà 

 contenuta in una V 3 , l'altra ih una Y p - q . Ad ogni punto (x) di f corri- 

 sponde un punto (£) di F ed un punto (£') di F'. Ora la Y q possiede q inte- 

 grali semplici, distinti, di prima specie, ad es. , w 2 (£),..., con 

 2q periodi, i quali integrali, mentre il punto ) varia su F , ci forniscono 

 q integrali di F. Similmente la V p _ g possiede p — q integrali distinti, con 

 2(p — q) periodi, che possiamo indicare con u q +i(£') , u q + 2 {§') , • • • , u&0)i 

 e che forniscono p — q integrali di F\ Convenendo che al punto (x , y , s) 

 di / corrispondano i punti (£) , (^') di F , F' rispettivamente, poniamo 



l-ix.y,*)^*® = ...,?), 



Avremo così, in tutto, p integrali di f, che si distribuiscono in due classi, 

 composte di q e p — q integrali, rispettivamente ; i primi integrali sono 

 riducibili a q integrali dotati di 2q sistemi di periodi simultanei, ed i se- 

 condi integrali sono riducibili & p — q integrali con 2(p — q) sistemi di 

 periodi. 



14. Le considerazioni precedenti, le quali provano che una superficie /, 

 avente l'irregolarità p, possiede p integrali semplici, distinti, di prima specie, 

 lasciano il dubbio che la superficie possa ammettere altri integrali analoghi, 

 distinti da quelli. Un tal dubbio però vien rimosso, ricorrendo, ad es., al 



