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ragionamento che il sig. Severi ha esposto nella sua Nota Sulla differenza 

 tra ì numeri degli integrali Eccone il concetto. Si abbia un inte- 

 grale di prima specie di /, i cui periodi (ove si mettano in evidenza le 

 parti reali ed immaginarie) siano -|- i§ x , a 2 -f- . Si può allora, in 



virtù di un teorema del sig. Picard, formare due integrali semplici di seconda 

 specie di /, il primo dei quali abbia i periodi a, , a 2 , . . . , ed il secondo 

 i periodi fa , fa , . . . Se dunque la superficie possiede p' ì=^p integrali sem- 

 plici di prima specie, si otterranno, nel modo detto, 2p' integrali di seconda 

 specie, dei quali si può affermare che sono distinti tra loro. 'D'altra parte 

 la differenza tra i numeri degli integrali distinti di seconda e di prima 

 specie, differenza che, in virtù delle cose dette, è maggiore od uguale a p', 

 si sa esser uguale a p Segue p' =p; e segue ancora che il numero 

 degli integrali distinti di seconda specie è esattamente 2p . Altrettanti sono 

 dunque i cicli lineari che possiede la superficie, riguardata come una varietà 

 reale di Eiemann a quattro dimensioni ( 3 ). 



Raccogliendo tutti i principali risultati ottenuti sin qui, perveniamo al 

 teorema fondamentale seguente: 



Una superficie algebrica, avente i generi p g ,p a e quindi l'irregola- 

 rità p =p g — p a , possiede esattamente p integrali semplici, distinti, di 

 prima specie, e 2p integrali semplici, distinti, di seconda specie. La va- 

 rietà reale a quattro dimensioni, che rappresenta la superficie nel senso 

 di Eiemann, ammette 2p cicli lineari distinti, ed ha la connessione 

 lineare p\ — 2p -J- 1 . Gli integrali nominati hanno dunque 2p sistemi di 

 periodi simultanei. 



Risulta qui evidente la perfetta analogia di questo risultato coi noti 

 teoremi di Riernann, relativi agli integrali abeliani di prima e seconda specie 

 annessi ad una curva di genere p . Quando si ponga mente alla connessione 

 lineare, l'irregolarità di una superficie ha un ufficio analogo al genere di 

 una curva; e le superficie regolari sono paragonabili alle curve razionali. 



L'analogia si estende anche al caso di riducibilità degli integrali. Se, 

 tra i p integrali di prima specie di una superficie, esistono q <Cp integrali 

 distinti, riducibili a q integrali con 2q periodi, esisteranno pure altri p — q 

 integrali, distinti tra loro e da quelli, che saranno riducibili ad un sistema 

 di — q integrali con 2(p — q) periodi. Nel tempo stesso la varietà di 

 Picard V p annessa alla superficie presenta le particolarità algebriche men- 

 zionate al n. 9. Ciò risulta facilmente dalle cose dette ; ma è pur contenuto 



(') Atti della R. Accad. delle Scienze di Torino, 22 genn. 1905. 



( 2 ) Teorema dei sigg. Picard e Severi; si vedano i Comptes Rendus de l'Acad. des 

 Sciences del 16 gennaio 1905, e la Nota sopra citata del sig. Severi. 



( 3 ) Cfr. la Théorie des fonctions algébriques de deux variables dei sigg. Picard e 

 Simart, t. I, pag. 150. 



