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nella teorìa più volte citata della riducibilità degli integrali abeliani, la 

 quale si estende immediatamente agli integrali sopra considerati. 



15. Gli ultimi risultati, e le considerazioni con cui furono ottenuti, 

 trovano immediata applicazione alle superficie aventi l'irregolarità 1 o 2. 



Segue, ad es., dal n. 13 che una superficie / avente l'irregolarità 1 

 può rappresentarsi razionalmente sopra una varietà di Picard ad 1 dimen- 

 sione, cioè sopra una curva ellittica Vi . Ad ogni punto di V! corrisponde 

 su / una curva algebrica; le oo 1 curve algebriche, che così si ottengono, 

 formano un fascio ellittico. Le curve qui nominate potrebbero, a dir vero, 

 spezzarsi in più curve di un nuovo fascio irrazionale, ma il genere jt di 

 questo fascio non può superare 1, giacché altrimenti la superficie possede- 

 rebbe almeno n integrali semplici e distinti, di prima specie, il che non è 

 possibile se p = l. Dunque: una superficie di irregolarità 1 possiede un 

 fascio ellittico di curve algebriche ( 1 ). Lo stesso teorema vale se la super- 

 ficie /, pur avendo l'irregolarità p^>l, possiede un integrale di prima 

 specie riducibile ad ellittico, giacché allora la varietà di Picard Y p ha un 

 sistema di imprimitività composto di oo^- 1 curve ellittiche Vi ; sopra una 

 di queste si potrà dunque rappresentare razionalmente la /". Occorre però 

 avvertire che, nel caso presente, la curva generica del fascio ellittico può 

 scindersi in più curve di un fascio di genere n, tale che 1 n <- p . 



Consideriamo ora una superficie f di irregolarità p = 2 . La varietà di 

 Picard V 2 è in tal caso una superficie iperellittica. La / potrà dunque rap- 

 presentarsi razionalmente sopra una superficie iperellittica (cioè birazional- 

 mente sopra la detta superficie contata una o più volte), oppure sopra una 

 curva di genere jt jsà 2 della superficie iperellittica. Ricordando che l' ipotesi 

 jt = 1 porta la presenza di due fasci ellittici di curve ellittiche sulla V 2 , 

 si giunge al teorema : 



Una superficie avente l'irregolarità 2 è birazionalmente identica 

 ad una superficie iperellittica semplice o multipla: oppure la superficie 

 primitiva contiene un fascio di genere 2 di curve, o due fasci ellittici 

 di curve. 



16. Ritorniamo al teorema fondamentale di questa Nota (n. 14), ed 

 all'analogia rilevata tra le superficie aventi l'irregolarità p e le curve di 

 genere p. Il procedimento da noi seguito mette in luce la ragione intima di 

 questa analogia. Infatti tutte le considerazioni ^svolte nella Nota I (n. 1 — 4) 

 sugli oop sistemi lineari, regolari, di curve contenuti in uno stesso sistema alge- 

 brico, sopra una superficie di irregolarità p, si trasportano senz'altro alle 

 caP serie lineari non speciali gl~ p , di ordine dato n^p, esistenti sopra 

 una curva C di genere p. Anche queste serie possono rappresentarsi sopra 



(') Cfr. Severi, Osservazioni sui sistemi continui di curve , Atti dell'Acc. delle 



Scienze di Torino, 28 febbraio 1904. 



