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i punti di una varietà algebrica Y p , a p dimensioni, la quale ammette un 

 gruppo G p di trasformazioni birazionali in sè, permutabili a due a due. E 

 la Y P non dipende dall'ordine n da cui si parte, purché sia n^p; sicché 

 la Y p può riguardarsi come rappresentante gli oop gruppi di p punti di una 

 curva C di genere p ('). Il legame tra gli integrali abeliani di C e gli inte- 

 grali semplici di Vp si potrebbe stabilire in modo perfettamente analogo a 

 quello da noi tenuto per dedurre gli integrali della superficie f dagli inte- 

 grali di Y v ; sebbene, nel caso delle curve, si possa procedere in modo più 

 semplice. Ma dove la considerazione della Y p , relativa ad una curva C, 

 sembra riuscir vantaggiosa, è nello studio dei casi di riducibilità degli inte- 

 grali abeliani di C; allora infatti la varietà Y v possiede due sistemi alge- 

 brici di imprimitività ( oop-i Y q ed oos Vp_ ? ), ed in corrispondenza il gruppo 

 ■G p ammette due sottogruppi algebrici G q , G p _ g . 



Non voglio però fermarmi qui sopra tale soggetto. Accennerò piuttosto 

 ad un'altra questione, che si presenta naturalmente, quando si cerchi il 

 numero dei moduli (invarianti per trasformazioni birazionali), da cui dipende 

 la Y p relativa ad una curva o superficie assegnata. Ricordo a tal fine che 

 una varietà generale Y p , dotata di un gruppo G p di trasformazioni birazio- 



nali in sè, dipende da ^ — moduli, come risulta dalla teoria delle 



Li 



funzioni 2p volte periodiche di p variabili, funzioni che, come dicemmo, 

 forniscono una rappresentazione parametrica della Y p . Risulta d'altra parte 

 dalle ricerche di Riemann che, se la Y v rappresenta i gruppi di p punti 

 di una curva di genere p , essa ha un grado di generalità inferiore, perchè 

 quella curva e la relativa V p dipendono da Sp — 3 moduli (p > 1), numero 

 inferiore al precedente, se p > 3. Si poteva sospettare che una riduzione 

 analoga nel numero dei moduli avvenisse per una Y v legata con una super- 

 ficie di irregolarità p. 



Ebbene, ciò non è. [nfatti da considerazioni del sig. Enriques e mie, 

 che saranno pubblicate in seguito, risulta che le varietà di Picard, relative 



alle superficie di irregolarità p , dipendono proprio da 7^ — moduli. In 



termini più esatti: « determinata una Y v coll'esprimere che le coordinate 

 li , iFs , . • . i £p + i di un suo punto generico sono funzioni abeliane generali, 

 cogli stessi periodi, di p variabili, esistono infinite superficie, di irregolarità 

 p, che hanno la Vp come varietà di Picard ». Od anche: « fissato un si- 

 stema di 2p 2 quantità aut(i = 1 , 2 , . . . , p ; k = 1 , 2 , . . . , 2p), che pos- 

 sano esser prese come periodi di una funzione abeliana generale di p va- 



(') Il grujipo G p delle trasformazioni in sè della relativa ad una curva trovasi 

 già studiato, per via elementare (algebrica), in una mia Nota, Le corrispondenze univoche 

 tra i gruppi di p punti , inserita nei Eendic. del R. Istit. Lomb. dell'anno 1893. 



