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Le 12 immaginarie sono a due a due coniugate ma non concorrenti, 

 quindi senza punto reale; p. es. sono coniugate (31) e (23), ma queste con 

 (12) formano una terna pari. Dei 45 piani tritangenti ve ne sono 15 reali, 

 perchè altrettante sono le quaterne-zero reali contenenti la retta (12), e gli 

 altri sono immaginari perchè tutti del tipo (23) (34) (41) contenenti cioè 

 una retta reale e due immaginarie non coniugate. 



Per ogni retta reale (come p. es. (34)) passano tre dei piani reali 

 (p. es. (34) (56) (78) , (34) (57) (68) , (34) (58) (67)) . 



Questa varietà di superficie è precisamente la seconda di quelle conte- 

 nute nella classificazione di Schlaefli (la prima è naturalmente quella con 

 tutte le rette reali) e alla medesima varietà si giungerebbe se si supponessero 

 immaginari coniugati i punti (3), (4). 



Supposti ora immaginari coniugati i punti (1), (2) e (3), (4) si hanno 

 sette rette reali, cioè la (34) e le congiungenti i punti (5), (6), (7), (8); 

 quattro rette immaginarie ma con un punto reale ( l ) (le (13), (24), (14), 

 (23)) e le rimanenti 16 immaginarie senza punto reale. Di piani reali 

 se ne ha cinque di due specie, cioè i tre piani (34) (56) (78) , (34) (57) (68), 

 (34) (58) (67), passanti ciascuno per tre rette reali, e i due piani (34) (13) (24), 

 (34) (14) (23), passanti per una retta reale e due immaginarie coniugate 

 con un punto reale; i cinque piani passano per una medesima retta. 

 Questa è la terza varietà di Schlaefli e alla stessa si giunge supposti im- 

 maginari coniugati i punti (3), (4) e (5), (6). 



Alla quarta varietà si giunge supponendo coniugati i punti (1), (2); 

 (3), (4) ; (5), (6). Si hanno allora le tre rette reali (34), (56), (78) situate 

 in un piano trztangente (reale); le rimanenti rette sono tutte immaginarie, 

 ma di esse 12 hanno sempre un punto reale (come (13), (24), . . .) e le 

 altre no (come (37), (38), . . .). Queste ultime 12 formano una bisestupla 

 di Schaefii. 



I piani reali sono 1 -f- 6 = 7; uno è il piano delle tre rette reali, e 

 gli altri sono piani con una retta reale e due immaginarie coniugate con 

 un punto reale (p. es. (13) (34) (42)); per ogni retta reale passano due 

 altri piani reali, oltre quello delle tre rette (così per (34) passano anche 

 i piani (34) (13) (42) , (34) (14) (23)). 



E finalmente la quinta varietà di Schlaefli si ottiene facendo diventare 

 immaginarie coniugate le coppie di punti (1), (2) ; (3), (4) ; (5), (6) ; (7), 

 (8). Si hanno allora le tre rette reali (34), (56), (78) ; le altre 24 rette 

 sono tutte immaginarie ma con un punto reale; vi sono 12 piani reali, 

 di cui uno con tre rette reali, e gli altri 12 con una retta reale e due 



(!) Le punktirte dei tedeschi. Alcuni (come p. es. Zeuthen, Annali di Matem. (2). 

 t. XIV, 1879) chiamano rette di l a specie le rette immaginarie con un punto reale, e 

 di 2 a specie le immaginarie senza punto reale. 



Kendiconti. 1905, Voi. XIV, 1° Sem. 83 



