— 666 — 



immaginarie coniugate. Per ciascuna delle tre rette reali passano in tutto 

 5 piani reali. 



Se ora supponiamo due degli otto punti coincidenti, p. es. i punti (1), 

 (2), e poi facciamo tutte le possibili ipotesi sulla immaginarietà degli altri, 

 otteniamo, come può facilmente vedersi, tutte le, già note quattro varietà 

 di superfìcie cubiche con un punto doppio; similmente si potrebbero otte- 

 nere le 6 varietà di superfìcie con due punti doppi, tre coi punti doppi reali, 

 e tre coi medesimi immaginari coniugati, e così di seguito, potrebbe p. es. 

 così ottenersi in poche righe tutta intera la. classificazione contenuta, nel- 

 l'opera di R. Sturm i^ 1 ). A noi però basti questo cenno di applicazione del 

 metodo combinatorio, e passeremo a trattare similmente, in un breve cenno, 

 delle superfìcie di 4° ordine a conica doppia. 



2. Delle 27 rette precedenti soppressane una, p. es. la (34), e le IO 

 che la incontrano, cioè le (56), (78), (57), (68), (58), (67), (13), (24), (14), 

 (23), le rimanenti rappresentino le 16 rette di una superficie di 4° ordine 

 a conica doppia; le quali restano così rappresentate dalle 16 congiungenti 

 i quattro punti (1), (2), (3), (4) cogli altri quattro. Se invece facciamo che 

 la retta soppressa sia la (23) e le IO altre che incontrano questa, le 16 

 rette della superfìcie sono rappresentate dalle 15 congiungenti a due due i 

 punti (2), (4), (5), (6), (7), (8), e dalla retta (13). 



Le due figure rappresentative delle 16 rette, così ottenute, sono le me- 

 desime due che nel lavoro già citato di sopra sulle superfìcie di Kummer 

 servono a rappresentare i 16 piani singolari di questa superfìcie, e da cui 

 abbiamo dedotto le ordinarie notazioni adoperate dai geometri per tali piani. 

 Onde: per le 16 rette della superficie di, 4° ordine a conica doppia pos- 

 sono adoperarsi le medesime due notazioni che si adoperano per i 16 piani 

 singolari della superficie di Kummer. 



Uno dei 40 piani tritangenti della superfìcie è rappresentato da una 

 coppia di rette (scelte fra le 16) che, insieme ad una delle due rette prin- 

 cipali soppresse nella figura totale delle 28 rette, forma una terna dispari, 

 e ciascuno dei noti cinque coni di Kummer può essere rappresentato da 

 ciascuna delle cinque quaterne-zero che si possono formare colle due rette 

 principali soppresse e colle cinque altre coppie formate dalle 10 altre rette 

 anche soppresse ( 2 ). 



Così nella prima delle due rappresentazioni i piani sono rappresentati 

 dalle coppie 



(15) (26), (15) (27), (15) (53),... 



(') R. Sturm, Syntetische Untersuchungen iiber Flàchen 3 ter Ordnung, Leipzig, 

 1367, cap. VII, da pag. 281 a pag. 348. 



( 2 ) Ciò dipende dalla nota corrispondenza esistente fra i cinque coni di Kummer 

 della superficie di 4° ordine e i cinque piani soppressi relativi alla superficie cubica. 



