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e i coni di Kummer sono rappresentati dalle quaterne formate con (12), (34) 

 e ciascuna delle coppie 



(56) , (78) ; (57) , (68) ; (58) , (67) ; (13) , (24) ; (14) , (23). 



Se ora facciamo le solite ipotesi sulla immaginarietà dei punti rappre- 

 sentativi, abbiamo la nota classificazione delle superfìcie in 6 varietà 

 poniamo reali tutti i punti e abbiamo tutte le 16 rette reali; poniamo im- 

 maginari coniugati (1), (2) e abbiamo la varietà con 8 rette reali e 8 im- 

 maginarie senza punto reali; poniamo immaginarie coniugate le due coppie 

 (1), (2) e (5), (6) e abbiamo la varietà con 4 rette reali, 4 immaginarie 

 con punto reale e le rimanenti immaginarie senza punto reale; e se invece 

 poniamo immaginarie coniugate le due coppie (1), (2) ; (3), (4) abbiamo 

 tutte le 16 rette immaginarie senza punto reale. Col supporre immaginarie 

 le tre coppie (1), (2) ; (3), (4) ; (5), (6) abbiamo la varietà con 8 rette im- 

 maginarie a punto reale e 8 immaginarie senza punto reale, e finalmente 

 coli' ipotesi dell' immaginarietà di tutte le quattro coppie (1), (2) ; (3), (4) ; 

 (5), (6) ; (7), (8) si hanno tutte le 16 rette immaginarie con punto reale. 



Si potrebbe ora cogli Stessi principi esaminare caso per caso la realità 

 dei coni, quella dei piani, e indi esaminare anche i casi in cui alcuni dei 

 punti rappresentativi coincidano, casi che corrispondono a quelli ih cui la 

 superficie ha punti doppi; p. es. se supponiamo coincidenti i punti (1), (2) 

 si hanno 4 rette doppie e 8 semplici, e questo è il caso della superficie 

 con un punto doppio (è la specie [2111] di Segre, cit., pag. 361), e di 

 queste possono poi nel solito modo distinguersi tutte le varietà. 



Ma questo rapido cenno ci pare che basti per mostrare in che facile 

 modo può come compendiarsi tutta la classificazione; passiamo pertanto a 

 fare lo stesso per la superficie di 5° ordine a quintica doppia. 



3. Il sopprimere una delle 16 rette precedenti e le cinque che la in- 

 contrano corrisponde a sopprimere, nella figura primitiva di tutte le (28) 

 congiungenti, tre rette formanti una terna pari, e tutte quelle che con due 

 di queste formino una terna dispari. Le IO rette restanti rappresentano 

 quelle della S 5 . 



Poiché una terna pari può presentare tre figure diverse (vedi sopra), 

 così si avrebbero tre rappresentazioni le quali però, come si vede, si ridu- 

 cono subito a due. 



Ed infatti se la terna pari soppressa è costituita da tre rette formanti 

 un triangolo (67), (78), (86), le 10 rette restano rappresentate dalle con- 

 giungenti i primi cinque punti a due a due, e un'analoga rappresentazione 

 si ottiene se la terna pari di rette è quella costituita da tre rette passanti 

 per un punto (formanti un fascio), p. es. (56), (57), (58). 



(!) Zeuthen, Ann. di Math. (2), t. XIV; Segre, Math. Ann., t. XXIV. 



