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Matematica. — Sulle coppie di varietà geodeticamente appli- 

 cabili. Nota di Guido Fubini, presentata dal Socio L. Bianchi. 



1. Il problema, così importante per la teoria dei sistemi dinamici olo- 

 nomi e per la geometria differenziale degli iperspazii, di trovare tutte le 

 coppie di varietà geodeticamente applicabili (rappresentabili l'ima sull'altra 

 con conservazione delle geodetiche) fu risoluto per le superfìcie dal prof. Dini, 

 nel caso generale dal prof. Levi-Civita (Annali di Matematica 1896). Ecco 

 il risultato del prof. Levi-Civita : Se due varietà sono geodeticamente ap- 

 plicabili, i loro elementi lineari sono riducibili alla forma: 



n—m+l 



(1) I 



1=1 



Pi 



~ Vpi) X dx r dx s 



1 n—m-t- 1 



C2 ) cls % = - \ y 



(«%, + fi) («Vp, + fi) - + fi) - tt H>Vl + fi 



r " " i ■ |i ~ : 



X n'j(ip p . — ip Pi ) y K rs dx r dx s 



Il significato dei vari simboli è il seguente: 



I numeri p! , ,.. , p n _ m +i sono numeri interi positivi posti in ordine 

 crescente ; p 0 è uguale a zero ; m è un intero minore dell' intero n\ a , /? 

 sono costanti arbitrarie. La xp p è funzione di x Pl se pi-i -\r \ == pù se in- 

 vece pi^>pi-.-\- 1 , la tp p è una costante. Le K rs , dove r,s sono indici 

 compresi tra p t -i e p t sono funzioni qualsiasi di x Pl _^ , , ••• , x Vl . 

 Se pi =pi-i -f- 1 i allora di tali K rs havvene una sola, a cui si può dare 

 il valore 1 . 



Infine nei fattoriali n'j{\p v . — xp Pl ), j percorre tutti i valori 1,2,..., 



n — m -f- 1 , eccetto che il valore j "= l. 



2. A un elemento lineare del tipo (1) noi daremo il nome di elemento 

 lineare di Levi-Civita. 



Una questione intimamente connessa alla precedente è la seguente: 



Trovare tutte le varietà geodeticamente applicabili su una varietà (1) di 

 Levi-Civita. È evidente, per quanto abbiamo detto, che questa questione è 

 equivalente alla seguente: Dato un elemento lineure (1), si riconosca se 

 esistono dei cambiamenti di variabili coordinate,, die trasformino l'ele- 

 mento (1) di Levi-Civita in un altro elemento lineare pure di Levi-Civita, 

 e, in caso affermativo, si determinino tutti questi cambiamenti di variabili. 



