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È infatti ben chiaro che a ogni riduzione di un elemento lineare (1) al 

 tipo di Levi-Civita corrisponde, per il teorema precedente, una classe di 

 elementi lineari (varietà) geodeticamente applicabili su (1). 



Questa questione è importante per la teoria dei sistemi olonomi, e per 

 la teoria delle geodetiche: essa fu risoluta nel modo più brillante dal Konigs 

 per il caso della superficie (varietà a due dimensioni) (cfr. la Nota di Ko- 

 nigs nel 4° volume della Théorie des surfaces di Gr. Darboux) Noi ora 

 risolveremo in due modi lo stesso problema per gli spazi a r dimensioni 

 (r > 2), usando altri metodi, e di più caratterizzeremo invariantiva- 

 mente gli spasi del tipo (l): i risultati sono semplicissimi. Comincieremo 

 dal caso r = 3 ; gli elementi di Levi-Civita sono di uno dei tipi : 



(A) ds 2 = (fi — ipi) (fi — ip 3 ) dx\ -{- (ipo — "(px) {xp 2 — tp 3 ) dx\ + 



+ (f s — vp\) (ip 3 — ip 2 ) dai 

 ds 2 = (ifj } — h) dx\ + (h — Vi) (E dx\ -f- 2 P dx 2 dx 3 + Gdx 2 3 ) , 



dove xpi è funzione di h è costante, E,P,Gr sono funzioni di x% , x 3 . 

 Il secondo di questi elementi lineari si può con un cambiamento di coor- 

 dinate ridurre al tipo : 



(B) ds"- = dx\ -f- ìpi \i{dx\ -J- dxl) 



dove è funzione di x 2 , x 3 . 



Indicherò al solito con (ij , Ik) (i ,j , l , k = 1 , 2 , 3) i noti simboli a 

 quattro indici di prima specie di Kiemann. Come è noto, essi sono nulli, 

 se i = j, oppure 1 = k; essi cambiano di segno, permutando i con j, o l 

 con k; è infine (ij,lk) = (lk,ij). Tanto per l'elemento (A), quanto per 

 l'elemento (B) è (21 , 23) = (31 , 32) = (21 , 23) = 0 ; quindi affinchè in 

 ogni punto la varietà sia a curvatura costante k, è necessario e sufficiente 

 che : 



(3) (12 , 12) — Mu a 22 = (23 , 23) — ka ì2 a 33 = (31 ,31) — ka 33 a u = 0. 



In tal caso, per un teorema di Schur, k è una costante effettiva. Con a ik 

 indico al solito il coefficiente di dxi dxn in (A) o in (B). Esista ora un 

 cambiamento di variabili, che porti (A) o (B) in un elemento lineare del 

 tipo (A) o (B). Indichiamo con ?/*, con b^, con (ji,lk) y le nuove varia- 



(!) In questo caso l'elemento (1) si riduce a un elemento lineare di Liouville 

 ds* = (TJi -\- U a ) (dxl ~f" (Ui funzione di xì). Si potrebbe dare il nome di elementi 



di Liouville agli elementi ds* = Z Ui 2 i%\ (i , k = l ,2 ,...%) (U; funzione di xì) e 



i h 



chiedere quando esiste una trasformazione di coordinate che muta un elemento di Liou- 

 ville in un altro di Liouville. La questione si risolve nel modo più semplice, osservando 

 che una ta.le trasformazione dovrebbe essere una trasformazione conforme per l'elemento 

 lineare euclideo ^.dxl (questa condizione non è evidentemente sufficiente). 



