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dove Qi è una quantità finita. Poniamo ora nella (5) successivamente i==l, 

 k = 2 e i = 1 , k = 3 . Otterremo, risolvendo le equazioni così ottenute 

 rispetto alle au(i , 1), che 



(9) 



/23\ /31\ /12\ 



a n (l , 1) = tf 1(^23) ' ^22< 2 ' 1) = °"i (^23/ ' ^3 (3 , l) = o"i ^23] 



dove Ci è un fattore di proporzionalità, nè nullo, nè infinito. (Se g x = 0 

 sarebbe (1 , 1) = (2 , 1) = (3 , 1) == 0 e quindi J = 0; se e, = 00 sa- 

 rebbero nulli i minori (93) > (^\) > (23) e 1 umc ^ J = 0). Kicordando 



questo fatto, confrontando le (8), (9) e osservando che certamente au=^Q, 

 otteniamo : 



(10) [«a (23 , 23) - ?1 <r t ] (1,1) = [a„(31 , 31) — e^] (2 , 1) = 

 :=[a 33 (12, 12) — fiff,] (3, 1) = 0. 



Valgono evidentemente equazioni analoghe, che si ottengono rotando gli 

 indici 1,2,3. 



3. Per comodità di discorso, noi diremo elemento (B) un elemento, che 

 si possa considerare insieme del tipo (A) e del tipo (B). Noi escluderemo 

 senz'altro che l'elemento considerato sia a curvatura costante: questo caso 

 non c'interessa per nulla, perchè è ben noto, da teoremi del Beltrami, che 

 gli spazi applicabili geodeticamente su uno spazio a curvatura costante sono 

 tutti e soli gli spazi pure a curvatura costante. Studieremo anzitutto il 

 caso (B) ; è allora (12 ,12) = (31 , 31) e a 22 — a 33 . Supponiamo dapprima 

 che (2 , 1) = (3 , 1) = 0 ; allora, poiché J =|= 0 , sarà (1 , 1) 4= 0 ; e, poiché 

 a u =j= 0 , avremo dalle (5) [dove si faccia successivamente i = 1 , k = 2 e 

 i=l,k = 3] che (1 , 2) = (1 , 3) = 0 . 



Sarà quindi X\ — X\{y x ) ; x 2 = x 2 (y 3 , y 3 ) ; x 3 = x 3 (y 2 , y 3 ). Una tale 

 trasformazione non può portare un elemento (B) in un elemento di tipo 

 (A), ma soltanto in un elemento di tipo (B) : ciò che avviene soltanto se 

 Xi= =J= y l -f~ cost e se la x 2 — x 2 (y 2 , y 3 ) , x 3 =x 3 (y 2 ,ys) è una trasfor- 

 mazione conforme per dx\-\- &x\. 



Ponendo x x = z x , x 2 -f- ix 3 = z 2 , x 2 — ix 3 = s 3 , potremo dire che la 

 nostra trasformazione deve intanto trasformare in sè il sistema delle Z\ — cost, 

 s z = cost , £ 3 = cost. 



Supponiamo ora che almeno una delle (2,1) , (3,1) non sia nulla; 

 supponiamo p. es. che (2,l)=j=0. Per le (10) sarà a 22 (31 , 31) = q x a x . 

 Se fosse anche «n(23 , 23) = q x , allora, poiché a 22 (31 , 31) = a 33 (2l , 21), 



sarebbero soddisfatte le (3). dove si ponesse k — — ^—^ — ; e quindi noi sa- 



an a 2 % a 33 



remmo nel caso escluso di spazi a curvatura costante. È perciò «u(23 , 23)=f=(*icr 1 ; 

 e quindi, per le (10), sarà (1,1) = 0. Poiché J=j=0, almeno una delle 



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