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(1 , 2) , (1 , 3) è differente da zero. Sia p. es. (1 , 2) ={= 0. Sostituendo nelle 



(10) gli indici 2,3,1 agli indici 1,2,3, otterremo: 



(10 bis ) 0 = [a u (23 , 23) — (1 , 2) = [a„(81 , 31) — ?2 <r 2 ] (2,2) = 



= [« 33 (12, 12) — Qa ff 3 ] (3, 2). 



E quindi sarà a n (23 , 23) = q 2 ^ì • Ma poiché, come dicemmo, a u (23 , 23) 

 4= a 82 (12 , 12) , avremo che (2 , 2) = 0 e analogamente (3 , 2) = 0 . Se ora 

 fosse anche (1,3) =4= 0, si dimostrerebbe analogamente che (2 , 3) = (3 , 3) = 0 

 e se ne trarrebbe J = 0. È dunque (1 , 3) = 0 e la nostra trasformazione 

 è del tipo : x x = X\{yi) ; x 2 = x 2 (pi , y%) ; (l = 2 , 3) . Essa non può chia- 

 ramente portare un elemento (B) in un elemento (A); se essa portasse l'ele- 

 mento (B) in un altro elemento di tipo (B), sarebbe: 



(11) (2,1)(2,3) + (3,1)(3,3) = 0 ; (2 , l) 2 + (3 , l) 2 = 1 ; 



(l,2) 2 = (2,3) 2 + (3,3) 2 . 



Poiché (1 , 1) = 0 , J ={= 0 , almeno una delle (2 , 1) , (3 , 1) non è nulla: 

 quindi per la prima delle (11) traggiamo (indicando con X una costante 

 finita) : 



(12) (3,3) = A(2,1) ; (2 ,3) = -1(3,1): 



L'ultima delle (11) diventa in virtù della seconda delle (11) e delle 

 (12) X z = (1 , 2) 2 . Dunque X è funzione soltanto di y 2 e quindi [per le (12)] 

 essa è una costante effettiva. L'elemento trasformato di (B) è perciò 

 dyl -{- X ì {dyl -f- dy\) (X = cost), ed è perciò euclideo; altrettanto avverrebbe 

 quindi di (B): ciò che noi abbiamo già escluso dalle nostre ricerche. 



4. Studieremo ora il caso (A). È fondamentale l'osservazione: 



/ simboli (21,23) , (31,32) , (12,13) sono nulli; la quantità 

 au[ajj(ik , ih) — é simmetrica negli indici 1,2,3 



(come dimostra il calcolo effettivo); cosicché, se «u(23 , 23) = « 2 2(31 , 31), 

 è anche « 33 (12 , 12) = « u (23 , 23) e quindi sono verificate le (3), ossia 

 lo spazio è a curvatura costante. 



Escluso questo caso, le ai n (23,23) — q x a x , « 22 (31 , 31) — ^ a l , 

 6(3 3 (12,12) — Q l ff l sono a due a due distinte: una sola è quindi al mas- 

 simo uguale a zero; e quindi per le (10) almeno due delle (1,1), (2,1), 

 (3,1) sono nulle. Così pure almeno due delle (1,2) , (2,2) , (3,2) e 

 almeno due delle (1,3) , (2,3) , (3,3) sono nulle. Poiché J=j=0, ne 

 traggiamo subito che la nostra trasformazione si riduce a una permutazione 

 delle schiere di superficie X\ = cost , x% — cost , x 3 == cost . Convenendo di 

 dire che per (A) le xt = cost e per B le z t = cost (cfr. § 3) formano un 

 sistema di Levi-Civita, potremo riassumere i nostri risultati nel modo se- 

 guente : 



