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Una varietà a tre dimensioni, che contiene più di un sistema di 

 Levi- Civita è a curvatura costante; escluso questo caso, una trasforma- 

 zione, che porti un sistema di Levi- Civita in un sistema di Levi- Civita 

 può al massimo soltanto permutare le tre schiere di superficie, che costi- 

 tuiscono il sistema. 



Ora, perchè uno spazio V a tre dimensioni, che ammette un gruppo 

 G geodetico, contiene un sistema di Levi-Civita (*), trasformato da almeno 

 una trasformazione di G in un sistema pure di Levi-Civita, avremo : Un tale 

 spazio V, o è a curvatura costante, o possiede uno e un solo sistema di 

 Levi-Civita, invariante per il gruppo G. Questo è il teorema fondamen- 

 tale della mia Mem. citata. 



5. Interpetreremo ora geometricamente le nostre considerazioni. Il primo 

 teorema del § 4 ci dice in sostanza : Per uno spazio (A) le linee coordi- 

 nate Xi , x 2 , x z formano le tre conguenze principali (nel senso di Schur e 

 Ricci) ; le curvature principali corrispondenti sono a due a due distinte, 

 se lo spazio non è a curvatura costante. 



Cor. I). Ne discende tosto che (esclusi gli spazi a curvatura costante) 

 uno spazio (A) non può possedere più di due sistemi di Levi-Civita del 

 tipo (A), perchè (essendo le curvature principali a due a due distinte) le 

 congruenze principali sono determinate. 



Cor. II). Affinchè una metrica sia riducibile al tipo (A) è condi- 

 zione necessaria e sufficiente che essa sia a curvatura costante (nel qual 

 caso le Xi = cost formano un sistema di quadriche confocali (cfr. loc. cit.)) 

 oppure che le curvature principali siano a due distinte, le congruenze 

 principali siano normali, e, assunte come linee coordinate, diano all'ele- 

 mento lineare precisamente la forma (A). Queste condizioni sono inva- 

 riantive si possono facilmente scrivere coi simboli del prof. Ricci. 



Uno spazio B invece ha uguali due delle curvature principali: esso 

 non può quindi essere riducibile al tipo (A), se non è a curvatura costante. 

 Le congruenze principali non sono quindi univocamente determinate ; ma 

 invece le z l = cost , Zi = cost , s 3 = cost sono determinate senza ambiguità. 

 Perciò anche uno spazio (B) non contiene più di un sistema di Levi- 

 Civita. Condizione necessaria e sufficiente affinchè uno spazio sia riduci- 

 bile al tipo B, è che una terna di congruenze principali si possa assumere 

 come terna di congruenze coordinate, e che l'elemento lineare diventi in 

 tal guisa del tipo (B). Anche questa è una condizione invariantiva. Dello 

 sviluppo dei concetti precedenti per il caso di spazi a più che 3 dimensioni 

 io mi occuperò in un'altra Nota. 



(>) Cfr. la Mem. dell' A-.': Sui gruppi di trasformazioni geodetiche, Mem. dell'Ac- 

 cademia di Torino, 1903. 



