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 Osservando che nel nostro caso abbiamo: 



i U ^_( 12 ^_I^ (11) (12Ì (22) 



[ 1 ) ( 2 j Xdu ' (2)~ °' 



(22) IdX 

 Xdu' 



le (5) si riducono alle seguenti: 



(6) 







= 0 











1 



~òu 



1)V 





1 —.. 



— - — <3> — T — 3)' =0. 



Dall'equazione di Gauss e dall'espressione della curvatura media rica- 

 viamo le due relazioni: 



(7) W — 3>' 2 = KA 2 , 



(8) q _f_ <5>" = _ A 2 H. 



Ora, come abbiamo osservato poco prima, H e K e così pure la quan- 

 tità X sono funzioni della sola u, se dunque si pone: 



I Q) -.= A -f- B cos co 



(9) | <5>' = B sen « 



[ = A — B cos co 



(dove A = — -g- e B 2 = / — — K)A 4 j anche A e B saranno funzioni 



della sola u, mentre co sarà generalmente funzione di u e di v. 

 Dall'equazione differenziale delle linee di curvatura: 



dv? — 2 cotg co dudv — dv 2 == 0 , 



si riconosce subito che co rappresenta il doppio dell'angolo che un sistema di 

 linee di curvatura formano colle linee v = cost. Eliminando <5) , 4fr r , <3>' f dal- 

 l'equazione (7) mediante le (9) e ponendo inoltre per K il suo valore dato 

 dalla (2) avremo: 



(10) ™ = B'-A<. 



