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Î Supponiamo ora di applicare alla S una qualunque delle co? trasfor- 
| mazioni By per congruenze W, che la cangi in un'altra deformata S, della 
| medesima quadrica Q. Si sa che sulle due falde focali (S,S,) della con- 
i gruenza, formata dalle congiungenti i punti corrispondenti di S,S,, si cor- 
| rispondono i sistemi coniugati, ed in particolare al sistema coniugato per- 
| manente (vu, 0) sopra S corrisponde il sistema analogo («,v) sopra S, (vedi 
Î vol. III, $ 34). Ne segue che le tangenti alle linee v = cost sopra S, for- 
Î mano, alla loro volta, nna nuova congruenza W, la cui seconda falda, che 
indicheremo con S,, dipende da S, come S da S. Ora fra i punti M,M, 
di S,S, viene, dalla costruzione stessa, stabilita una corrispondenza che 
| conserva i sistemi coniugati, e noi vogliamo dimostrare che sussiste ulte- 
riormente il teorema: 
B) Le due seconde falde S,S, sono nuovamente le due falde focali 
I della congruenza rettilinea W formata dalle congiungenti i loro punti 
| corrispondenti. 
In altri termini, le quattro superficie 
(SASSO) 
formano una quaderna del generale teorema di permutabilità dimostrato al 
S 248, vol. lI delle Lezioni. 
Proveremo il teorema B) dimostrando che la congiungente M M, giace 
a 
nel piano tangente in M alla S; come pure nel piano tangente in M, alla Sì. 
Ma, a causa della simmetria nella costruzione, basterà verificare la prima 
cosa. 
Qui ci limiteremo a stabilire la proprietà enunciata quando la qua- 
drica Q è un paraboloide, ovvero una sfera immaginaria, poichè in questi 
casi possediamo già sviluppate le necessarie formole per le trasformazioni Bx 
riferite ai sistemi coniugati permanenti. Per il caso delle altre quadriche 
a centro converrebbe dedurle col metodo tenuto dal Calapso nelle sue recenti 
ed interessanti ricerche (?). 
4. Riferiamoci per es. al caso delle deformate S del paraboloide ellit- 
tico ed alle formole sviluppate per le loro trasformazioni nella mia Memoria 
del tomo XII (1906) degli Annali, che qui citerò con (M). 
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Annali di matematica, tomo XIX (1912). In questa Memoria il Calapso ha attuato lo 
studio delle trasformazioni Bx come trasformazioni intrinseche dei sistemi coniugati per- 
manenti, nel senso indicato al $ 79, vol. III delle Lezioni. Un risultato principale di 
queste ricerche è la risoluzione delle trasformazioni date da Guichard nei Joro elementi, 
che sono in effetto le trasformazioni Bz, combinate fra loro e colla così detta trasfor= 
mazione H. Particolarmente notevole in questi studî del Calapso è l’ufficio che viene a 
ti 
| () Intorno alle superficie applicabili sulle quadriche ed alle loro trasformazioni. 
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i compiere la trasformazione singolare Bw, corrispondente al circolo immaginario all’infi- 
nito come conica focale. 
