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f 
| — l4 — 
il della (1) che sia sommabile insieme con il suo quadrato nell'intervallo 
0 = 
Indichiamo, a norma della teoria dello Schmidt, con 
Pi(5) , Y(8) ; Pe(8) , W(8); 
la serie finita o infinita delle coppie di autofurzioni del nucleo K(s,t), e con 
ARIA 
la serie dei corrispondenti autovalori (costanti) i quali, nel caso che siano 
| | in numero infinito, ammettono l'unico punto limite 4==00. Come è noto, 
sussistono le equazioni cornzugate: 
Il \ gd =% {EE 0U04, 
| sel 
il I wi(s)= 4; f K(£,5) gi(t) di. 
Hi co 
i Se il nucleo K(g,%) è simmetrico negli argomenti s e #, vi è l’unica 
il serie (8), @2(s),... di autofunzioni e le (2) si riducono all’equazione 
| | i 
i | Pi(s) = 4; i K(s,%) gi(t) dé. 
o | 2. Se p(t) è una funzione integrabile nell'intervallo (0,1) e tale che 
II 
Il 1 
| (3) f K(s,t)p(t)dt=0, 
i È 
| sussisteranno le equazioni 
| ; | 
| (4) ol Pi) yi) de=0, ((=1,2,8,.) 
tn e inversamente. 
| Se l'equazione (3) è soddisfatta soltanto da p(#) identicamente zero, di- 
remo, con la terminologia dell’ Hilbert, che il nucleo K(s,#) è chiuso. In 
tal caso anche le (4) saranno soddisfatte da (t) identicamente zero: vale 
| a dire la successione della W; è chiusa, e viceversa. 
3. Rappresentiamo con a; i coefficienti di Fourier relativi alla funzione 
| 9(s) ed alla successione @,(s), ge(5), ...; si abbia cioè: 
I 
O == (40 Pi (5) ds. (EI: do 00) 
| a) Se il nucleo è chiuso, il Picard ha dimostrato per primo che con- 
dizione necessaria e sufficiente affinchè l'equazione (1) abbia una soluzione 
