h(t), sommabile con il suo quadrato nell'intervallo (0,1), è che la serie 
VI 9040 
ii di 
al 
(ce) 
sia convergente. Segue, in tal caso, necessariamente, che: la serze DI; Ui Pi(8) 
1 
converge uniformemente e in modo assoluto; e sì ha 
(DI g(s)= Di gi(8). 
1 
Sempre nell'ipotesi del nucleo chiuso e dell’esistenza di una soluzione 
h(t) dell'equazione (1) proposta, risulta che la soluzione 4(t) deve essere 
unica; giacchè se vi fosse un’altra soluzione 4,(%), diversa da 4(t), si avrebbe: 
{El 30) Ah) —Mh()fdt=0, 
e allora l'equazione (3) ammetterebbe una soluzione diversa da zero, ossia 
il nucleo K(s,%) sarebbe non chiuso, contrariamente all'ipotesi ammessa. 
5) Se il nucleo non è chiuso, un teorema del Lauricella (*) stabilisce 
due condizioni necessarie e sufficienti [per l'esistenza di una soluzione del- 
l'equazione (1): 18) che la serie i A a? sia convergente; 2*) che la data 
, L= 
funzione g(s) sia esprimibile mediante la serie DE ai pi(s). Trovata una so- 
1 
luzione /,(#) della equazione proposta, il Lauricella ha altresì dimostrato 
che se y(t) è la funzione più generale del campo (0,1) per cui la serie 
(>) 1 
DE vo f x(5) Wi(s) ds sia integrabile termine a termine, la soluzione più 
1 (1) 
generale dell'equazione (1) è data dalla formola: 
MI) = 0) + (0), 
dove: 
(6) cO=AO — SU) f 20) 4109) ds 
X 
* x 
4. Ciò premesso, e considerando per ora il caso del nucleo chiuso, sup- 
poniamo che esista la soluzione %(t) dell'equazione (1) e sia integrabile col 
suo quadrato nell’ intervallo (0,1). Sarà dunque (n. 3) convergente la serie 
00 00 
DE Ra== DE A?, avendo posto A;=;a;: e perciò, scelto # positivo e 
Î ad 
(1) Nella Nota citata innanzi: Sull'’equazione integrale di 12 specie. 
