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6. Consideriamo ora il seguente sistema: 
1 n 
(13) f DERE 
1 
ZU) 
(EER) 
Se poniamo, insieme con le (10), le condizioni 
(14) p(ti=pt—r+1), ((-1=<t=7r) 
sì può provare che il sistema (13) equivale all'unica equazione 
(15) |'K6,),0d=0, 
0 
giacchè ad ogni sistema di soluzioni p;(t) , pe(6), ...,2:(4) di (18), corrispon- 
derà una soluzione p(t), data dalla (14), dell'equazione (15); e, viceversa, 
ad ogni soluzione p(t) della (15) corrisponderà un sistema di soluzioni 
Pi(6) , pet), .- Pn(t) delle equazioni (13), che si ottengono da p(t) per 
mezzo della (14) o della seguente: 
pr()=p(t+r—1). 0=t=1) 
Si conclude (n. 2) che se l'equazione (15) non ammette soluzione alcuna 
diversa da zero, ossia se 7. nucleo K(s,t) è chiuso, neppure il sistema 
delle equazioni (13) ammetterà soluzioni diverse da zero: vale a dire che 
il sistema dei nuclei K;(8,t) sarà chiuso; e viceversa. 
Le equazioni (13), pertanto, allorchè ammettono l'unica soluzione 
pi(t)= p.(9)=-:-= pi) = 0, costituiscono la condizione di chiusura dei 
sistemi di nuclei K;r(s,/), così come l'equazione (4), allorchè è soddisfatta 
soltanto da p(4)=0, costituisce la condizione di chiusura del nucleo K(s,%), 
ossia dell'’unicità della soluzione dell’equazione (1), nell'ipotesi che la solu- 
zione esista. 
7. Nel caso dell'equazione (12) le coppie ;(s),%w;(s) di autofunzioni 
del nucleo K(s,) soddisfano (n. 1) alle equazioni seguenti : 
Pi(8) = di (KG st) wi(t) dt, 
0 
(6) = { K(,5) gi() de; 
quindi, se poniamo : 
Piu(s)=@i(s+u—-1) , Wa()=W(st+w+1); (0=s=1) 
