Matematica. — Sulle varietà di Jacobi. Nota di RuGciERO 
ToRELLI, presentata dal Socio E. BERTINI (1). 
Sulla superficie di Jacobi F, che rappresenta le g. di una curva C, 
di genere due, esiste un sistema oo! di curve, imagini delle 9g, individuate 
dalle coppie di punti di C, aventi un punto fisso. Applicando a tali curve tutte 
le trasformazioni di 1® specie di F, si ha un sistema 0c0?, X, di curve. 
Orbene, si ha la notevole proprietà che: ogni curva K di genere due, segante 
in due punti le curve di X (*), è una curva di Z. Questa proprietà può enun- 
ciarsì anche così: sopra una curva di genere due, una serie co, ya, di ordine 
indice e genere due, priva di coppie speciali, appartiene alla classe indi- 
viduata dalla serie (di ordine 1) dei punti della curva sostegno (*). E si 
noti che, avendosi su una curva di genere due una serie 00! di ordine 2 e 
genere > 1, nessun integrale di 1* specie della curva può dare somma 
costante lungo i gruppi della serie. 
In questa Nota io estendo, la proprietà, enunciata precedentemente, alle 
curve di genere qualunque. Dimostro cioè il seguente 
TEOREMA I. Sopra una curva Cp, di genere p, abbiasi una serie 
(irriducibile) yp, di ordine indice e genere p, priva di gruppi speciali e 
tale che nessun integrale di 1° specie di C, dia somma costante lungo t 
suoi gruppi. Allora nella classe individuata da yp v'è l'involuzione (di 
1° ordine) costituita dai punti di C,. 
Questo teorema (di cui si può dare subito un enunciato analogo al primo 
dei due surricordati, relativo cioè alle varietà di Jacobi) può riguardarsi 
come un complemento al $ 5 della mia Memoria M. Mediante esso, infatti, 
data su wua curva C,, di genere p>1, una serie 0), y, di genere p è 
tale che nessun integrale di 1 specie di C,, dia somma costante lungo i suoi 
gruppi. sé può subito decidere se nella classe individuata da y esista l’in- 
voluzione di 1° ordine costituita dai punti di C,: occorre e basta, perchè 
ciò sia, che il difetto di equivalenza di y sia egnale a p (*). 
Il teorema I permette poi di risolvere, in modo assai semplice, una 
interessante questione che si presenta spontaneamente nello studio degli in- 
2) Cfr. Enriques-Severi, Acta Math., tom. 32, pag. 309. 
3) Cfr. la mia Memoria: Sulle serie algebriche ... (Rend. Pal., 1913), di cui un 
sunto è apparso recentemente in questi Rendiconti (1° sem, fasc. 11). Designerò questa 
(!) Pervenuta all’Accademia il 1° agosto 1913. 
( 
( 
mia Memoria con M. 
(4) In M, parlando di involuzione, si intende, come di solito, escludere quella co- 
stituita dai punti della curva sostegno, pensati ciascuno un certo numero (= 1) di volte. 
