RESI NIO CO 
tegrali abeliani. E cioè: che cosa si può dire di due curve Cp, Cj, del 
genere p, le quali posseggano due sistemi di integrali normali di 1° specie 
aventi la medesima tabella di periodi? Nel $ 2 io pervengo assai 
facilmente a stabilire la édentità birazionale delle curve Cp, C$ (*). 
$ 1. — Dimostrazione del teorema I. 
1. Sia C, una curva di genere p, contenente una serie %!, irriducibile, 
Yr; di ordine indice e genere p, priva di gruppi speciali, e tale che nessun 
integrale di 1* specie di C, dia somma costante lungo ì suoì gruppi. 
La Yn non può avere punti fissi: se essa infatti fosse ottenuta aggiun- 
gendo certi 7 punti fissi a una serie Yp-;, di ordine p—, la serie lineare 
Gi» residua, rispetto alla serie canonica, di un gruppo variabile di Yp_;, 
descriverebbe una serie 00°, di cui passerebbero certo gruppi per quegli 7 
punti fissi: epperò la y», contro il supposto, possiederebbe gruppi speciali. 
La y, avrà il difetto di equivalenza p (M, n. 3): sarà cioè, secondo 
le notazioni usate in M, una yp[ ppp]. 
2. Nella varietà jacobiana V,, imagine delle 9, di Cp, la Yp è rappre- 
sentata da una curva (irridueibile) K, che non incontra la varietà (irridu- 
cibile) 002-?, 2wp-», imagine delle 9, speciali. 
Applichiamo a K tutte le trasformazioni di 18 specie di V,: otterremo 
un sistema co?, X,, di curve K, tale che da ogni punto di V, ne escono co!. 
Applicando alle K le trasformazioni di 2* specie, si ha un sistema Sp, co, 
di curve H, mutato in sè dalle trasformazioni di 1 specie. Non è da esclu- 
dere che Z, ed S, coincidano (*). 
a) Tra le K(H) appoggiate a wp-s la generica non giace în ps: 
perchè 2,(Sp) è privo di varietà fondamentali (M, n. 8); essa incontrerà 
quindi wp-, in un certo numero (4) di punti. 
b) La totalità ce? delle K(H) appoggiate a wp-s è irriducibile. 
Infatti un punto di K e uno di wp-» individuano ura trasformazione di 
18 (22) specie, quindi za curva K(H) appoggiata a wp-s. La detta totalità 
è quindi bir. identica a una involuzione, di ordine = 1, nella varietà delle 
coppie di punti di K, w,-:; ed è, perciò, irriducibile. 
3. Ai sistemi di carve K , H di V, corrispondono su ©, sistemi di serie y; 
indicheremo tali sistemi ancora con Z,, Sy. Precisamente: a una K(H) non 
‘appoggiata a wp-» corrisponde una serie co* yp[ppp]; alla generica K(H) 
(1 È mio dovere dichiarar di sapere che, fin dallo scorso marzo, il Severi, in una 
cartolina inviata al Bertini, gli comunicò, tra l’altro, di aver dimostrato l'identità bira- 
zionale di due curve come le Cp, C7, nel caso (generale) in cui queste due curve siano 
prive di corrispondenze singolari. 
(3) Ciò avviene se K è mutata in sè da una trasformazione di 28 specie (e solo 
allora). 
