— 101 — 
E) Vediamo ormai che /e due curve Cp, C$ si trovano in condizioni 
identiche: potranno perciò nei nostri ragionamenti scambiarsi fra loro (scam- 
biando anche fra loro è e 4, 7 e A). 
4. Per dimostrare il teorema I, distinguiamo ora due casi. 
I) Entrambe le curve Ch, C$ siano iperellittiche. 
Si consideri allora su C, la generica y, specializzata di 2,; essa con- 
tiene un numero finito (=) di gruppi speciali; quindi la yp_i[p— pp], 
che si ha prescindendo dai suoi 2 punti fissi, ha un numero finito (=> 0) 
di coppie comuni colla 93 di C,. Ora questo numero, per una notissima 
formula di Schubert, è dato dall'espressione 
Pre) 
che non può pertanto risultare negativa. Deve cioè essere 
î 
gi» 
Ragionando analogamente su C*, si arriva alla disuguaglianza 
k= 
a 
vE= k+1 Ps 
che combinata colla precedente, dà 
PZ) (+1): 
donde segue 7=%=p—1; il che dimostra, nel caso attuale, il teorema. 
5. II) Una almeno delle due curve Co, C} , ad es. la C$, non sia 
iperellittica. Cominciamo allora a mostrare che la generica yj specializzata 
di uno dei sistemi Zi ,S$ ha un solo punto fisso; e per questo faremo 
vedere che se la generica y} specializzata di uno dei detti sistemi, ad es. 3}, 
ne ha #>1, allora la generica specializzata di S$ ne ha uno. 
Supponiamo dunque A >1; prendiamo un gerzerieo gruppo canonico 
di Cz, e dividiamolo in due gruppi: uno, Tx», di #—2 punti; l’altro di p. 
Quest'ultimo appartiene a co! serie yy specializzate di 2} : fissiamone una 
Y$; siano A, A»... An i suoi punti fissi; E,-, un gruppo varzatzile della 
Yi, che si ottiene depurando la yj da tali punti fissi. 
Il generico fra i gruppi Ep-n PA ++ Ax ha l’indice di specialità 
zero (n. 2,5); ne segue che il generico fra i gruppi Epn+ A1 + Ans ha 
l'indice di specialità 2; e se fisstamo su C} un punto X, il generico fra i 
gruppi Ep-n4-A14 + Ax-2-+ X avrà l'indice di specialità 1. (Se 1=2, 
mancano À,... Apo). 
Consideriamo allora i residui E,-,, rispetto alla serie canonica, dei 
gruppi En + A+ + An-24 X. Dico che, se X è stato scelto generica- 
mente, la serie degli E,_, non può avere punti fissi. Se infatti, per ogni 
posizione di X, la serie degli E,_, avesse punti fissi, le serie 9g, residue 
dei gruppi Ep-n + A1+4+ + Ans rispetto alla serie canonica avrebbero dei 
RenpIconTI. 1913, Vol. XXII, 2° Sem. 15 
