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Il caso del campo molteplicemente connesso si riduce al precedente, 
coll'uso di diaframmi. La (1) risulta verificarsi per ogni circuito che non 
intersechi un diaframma: e la (V) con g monodroma e discontinua (con salto 
costante) ad ogni diaframma. 
5. Supponiamo ora la presenza di superficie di discontinuità, o*. Giova 
distinguere i due casi elementari che il circuito C, senza attraversare alcun 
diaframma, incontri una superficie connessa o* in due punti 4,4, o sia 
concatenato col suo contorno, chiudendosi in un punto 4. 
Nel primo caso, indichino @", 0” e a", /" due coppie di punti del circuito, 
prossimi ad 4,0, e posti dalle due parti della superficie. Indichino ancora 
c'e c' due punti del circuito, situati dalle stesse due parti. Sarà, per (IV), 
lim (E AXds= lim | Ro AXdS, 
/AU 00 
inteso il limite, col tendere dei cammini "4 e a"0" ad uno stesso cam- 
mino 40, appartenente alla superficie. Quindi 
fax 1im( is I AX ds). 
F c È qveb'a' i GU III A 
cu 
Ora, i due integrali che figurano nella parentesi sono ambedue nulli, per 
le precedenti conclusioni, almeno nell'ipotesi che il circuito C sia conve- 
nientemente ristretto, in modo che i relativi circuiti non incontrino super- 
ficie singolari. Quindi, almeno con questa riserva, 
JAxds=o. 
(6; 
Nel secondo caso, siano ancora 4' e a" posti dalle due parti della su- 
perficie e prossimi finchè si vuole ad 4, e 2,0" due altri punti, prossimi 
fin che si vuole alla superficie, e posti egualmente dalle due parti. Imma- 
giniamo un cammino 2'/0" tutto esterno alla superficie, e con e indichiamo 
un punto di C, sul cammino fra a' e a”, fuori della superficie. Avremo 
almeno per C convenientemente limitato, in modo che il circuito relativo 
al seguente integrale non incontri superficie singolari, 
f AXds=0. 
Sa ca"b'db'a' 
Quindi anche, col tendere dei cammini 40" e a”0" ad uno stesso cammino 48, 
appartenente alla superficie, 
lim AXds=0. 
Lacu''d ba 
