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Il ponte di passaggio fra questi due interessanti teoremi — dovuti 
rispettivamente a de Franchis (1) e Castelnuovo (*?) — è fornito dalla rela- 
zione di Picard in virtù della quale, dati due integrali semplici di 1 specie 
funzionalmente indipendenti, si può formare un ben determinato integrale 
doppio di 1* specie che deriva razionalmente da quelli. 
L'estensione del teorema di de Franchis, alle varietà algebriche era 
prevedibile; ma non si poteva altrettanto affermare della disuguaglianza di 
Castelnuovo finchè rimanevano sconosciute quelle relazioni — messe recen- 
temente in luce da Severi (*) — che estendono alle varietà il risultato di 
Picard dando il modo di costruire razionalmente un integrale s-plo di 
12 specie appena sian noti s integrali semplici di 18 specie funzionalmente 
indipendenti. 
Profittando dei risultati di Severi, mi son proposto di attuare le sud- 
dette previsioni, e son giunto abbastanza agevolmente alle conclusioni desi- 
derate. 
In questa Nota estendo alle varietà il teorema de Franchis, poggiandone 
la dimostrazione sopra una osservazione assai semplice, di carattere analitico; 
in due Note successive stabilirò due disuguaglianze che possono considerarsi 
come estensioni di quella del Castelnuovo alle varietà a tre dimensioni, 
applicandole a caratterizzare le varietà di genere geometrico vo e quelle 
d’'irregolarità tridimensionale negativa, e in fine accennando all’estensione 
relativa al caso delle varietà superiori. 
1. Osservazione preliminare. 
Date / funzioni analitiche indipendenti %,,%,...,%, delle variabili 
complesse x1, 2, ..., &%x (= %), siano %41, 41,42, +34 altre /4+1 fun- 
zioni, pure analitiche, delle stesse variabili, tali che valga l'identità 
(1) dui = Ad, + Ag dus + + '+Adu,; 
.(!) de Franchis, Sulle superficie algebriche le quali contengono un fascio irrazio- 
nale di curve, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, tom. XX (1905), pp. 49-54. 
() Castelnuovo, Sulle superficie aventi il genere aritmetico negativo, Rendiconti 
del Circolo Matematico di Palermo, tom. XX (1905), pp. 55-60. Il risultato di Castel- 
nuovo è stato ulteriormente precisato da Rosenblatt in varî lavori: cfr. p. es. Sur les 
surfaces irrégulières dont les genres satisfont à l'inégalitè pg > 2(Pa+ 2), Rendiconti 
del Circolo Matematico di Palermo, tom. XXXV (1913), pp. 237-244. 
(8) Severi, Relazioni tra gl'integrali semplici e gl'integrali multipli di 1° specie 
di una varietà algebrica, Annali di Matematica pura ed applicata(3), tom. XX, pp. 201-216. 
A proposito d'una citazione bibliografica contenuta in questo suo lavoro, il prof. Severi 
mi prega di avvertire che la relazione ch'egli attribuisce a Néther, Mathematische An- 
nalen, Bd. 29 (1886), pag. 366, fu data prima da Picard, Journal de Mathématiques (4), 
tom. I (1885), pag. 285. 
RENDICONTI. 1918, Vol. XXII, 2° Sem. 37 
