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ci proponiamo di provare che sì ha 
(2) d,= Pilu uz, 3), (CES 
cioè che le 4% si possono considerare come funzioni di w%,,%2,...,%. 
Invero, siccome le %,,%2,..-,%, sono funzioni indipendenti delle «, 
potremo, operando un cambiamento di variabili, considerare 741, 41,42 +34 
come funzioni di %,,%2,...,% e di XK —{ fra le x, ad esempio x1,%>, 
,Xx-;- Rispetto a queste nuove variabili varrà l'identità 
U l 
dUL dUI+ 
due = I E CE du; +> a da; =Y ddu, 
== = 
i=1 d%; = 
da cui seguiranno. le 
dU, dU+1 ; 5 
—: = —=4À;, CIR I ola 
ES (j=1 ki), 
la prima delle quali prova che v,+: è indipendente da 4,,%2,.., kr, cioè 
si può considerare come funzione di %,,%»;...,w. Tale proprietà spetterà 
dunque anche alle derivate di w,,, rapporto alle x, cioè — per la seconda 
delle (3) — alle 2, c. d. d. 
Il risultato ottenuto vale evidentemente anche se le w e le Z son fun- 
zioni analitiche del punto variabile sopra una varietà algebrica a % dimen- 
sioni Vx, coll’osservazione che in tal caso le (2) (3) sono verificate soltanto 
sulla Vy stessa. 
2. Esistenza di un sistema d'indice 1 e d'irregolarità bidimensionale 
>0 di varietà algebriche subordinate, sopra ogni varietà algebrica Vi 
d'irregolarità bidimensionale q>0, con 1+-1<=% integrali semplici 
(trascendenti) funzionalmente dipendenti. 
Sia V, una varietà algebrica irriducibile a 4 dimensioni, che possiamo 
supporre immersa in uno spazio Sk+1 (21, 42,8), la quale possieda 
q integrali semplici di 1% specie linearmente indipendenti 
(4) Uge= (Pu dar + Padar +-+ Padax, (MERE) 
ci proponiamo di dimostrare che: 
Se gli 141 = integrali ur, ua, ..., +, SONO funzionalmente di- 
pendenti senza che lo siano l tra essi, allora la Va contiene un sistema col, 
d’indice 1, di varietà algebriche My-, di livello costante per u,,U23.0%,U4+13 
che perciò ha l'irregolarità bidimensionale almeno uguale ad 1+ 1. 
Ammesso il teorema per le Vy,_;(< > 0), incominciamo coll’osservare 
che, a causa del legame funzionale supposto esistente fra w,, 2,3 %U+1) 
sarà, su Vz, identicamente nulla la matrice 
(5) E IERI (MEA 
