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applicare alla V,_, il teorema ammesso per le Vz_; e concludere che sulla 
generica Vyx_, di @ le varietà di livello costante per w,,%»,...,% sono 
W,-, algebriche formanti su ogni V,-, un sistema oo! d’indice 1, e quindi 
entro V, un sistema T, 00”, d'indice 1 ('). 
Sulla Wx_, generica di T gl’integrali %,+1,%r+2, +; %+: saranno fun- 
zionalmente dipendenti, perchè in virtù del legame esistente su Vx fra 1, 
U2, +-+, U+1, Se sì considera sulla W,-, il luogo dei punti in cui w,4,, 
Ur+3 , +. 3, SOno costanti, ivi sarà costante anche +: (perchè già lo sono 
Ur 3U2, 3 Ur). Inoltre /— fra gli /—7 +1 integrali considerati non 
potranno essere funzionalmente dipendenti sulla generica Wx-,, perchè altri- 
menti esisterebbe una relazione, valida su tutta la V,, fra quegli /— 7 in- 
tegrali ed w,,%2,...,%,. Siccome infine / —r +1<=/%— r, così si potrà 
applicare alla W,_, generica di T il teorema ammesso per le Vy_;, e con- 
cludere che su essa le varietà di livello costante per w,+;, %r+23 3 %41 
saranno M,_, algebriche, le quali entro Vx risulteranno di livello costante 
per %1,%2, + ,%7+, @ formeranno un sistema oct $, d'indice 1. Inoltre gli 
integrali %,,%2,...,%+, risulteranno in definitiva integrali di 1 specie 
linearmente indipendenti appartenenti all'ente algebrico X, cosicchè questo 
avrà l'irregolarità bidimensionale almeno eguale ad /-+ 1. Il teorema pro- 
posto è dunque completamente dimostrato. 
OssERVAZIONE. — L'ipotesi che gl’integrali %,,%2,..., %+, siano di 
18 specie, entra in gioco nella dimostrazione precedente solo quando sì vuol 
provare che l'irregolarità bidimensionale del sistema X è => +1. Sicchè 
l'esistenza del sistema 2 resta provata per il caso di integrali semplici 
qualunque; e inoltre, come ora dimostreremo, se quegl' integrali sono tra- 
scendenti (cioè se non si riducono a funzioni razionali o a combinazioni 
algebrico-logaritmiche), > ha l'irregolarità bidimensionale > 0. 
Si tratta, in sostanza, di provare che una varietà algebrica V, (imagine 
del sistema 2) la quale possiede un integrale semplice rascendente di 
2* o di 3* specie, ha necessariamente l'irregolarità bidimensionale positiva. 
E invero, sopra una V, d'irregolarità bidimensionale nulla tutti gli in- 
tegrali semplici di 2* specie si riducono a funzioni razionali, e quelli di 
32 specie a combinazioni algebrico-logaritmiche. La prima di queste due 
proprietà è immediata conseguenza del fatto che tutti i cicli lineari conte- 
nuti entro la Riemanniana imagine di V, sono riducibili a punti per defor- 
mazione continua; e quanto alla seconda, essa si stabilisce facilmente imi- 
tando un ragionamento del Severi relativo al caso delle superficie regolari (?). 
(1) Se r= 1, le Wx_, coincidono colle Vr_1. 
(*) Severi, Sulla totalità delle curve algebriche tracciate sopra una superficie al- 
gebrica [Mathematische Annalen, Bd. LXII (1906), pp. 104-225], $ 5, n.7, pp. 211-213. 
L'estensione a cui accenniamo è immediata, quando si osservi che, come sulle superficie 
