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3. Supponiamo in questo numero che l’equazione (II) sia ellittica, va- 
lendo le tre prime delle diseguaglianze (1), risulterà ellittica anche l’equa- 
zione (I) e dal teorema dimostrato segue il corollario: 
In un campo C in cui esiste una soluzione della (1) 0 della (II) nulla 
sul contorno — non identicamente nulla in C — ogni soluzione della (I1) 
non può sempre conservarsi diversa da zero. 
Da questo corollario sì deduce che: 7uzti è teoremi di unicità otte- 
nuti in (Ns) relativi agli integrali di un'equazione ellittica autoaggiunta 
alle derivate parziali del 2° ordine che prendono valori assegnati sul 
contorno di un campo connesso, valgono per l'equazione ellittica affatto 
generale L(e) = f(2,y), se la quantità in (Ns) indicata con M esprime 
il massimo di 
dh dk 
H —A—--—-—- 1 Lo 
(0) dI dY (0) 
4. Supponiamo ora, sino alla fine, che l'equazione (Il) sia parabolica. 
L'equazione (I), sempre nell’ipotesi che valgano le (1), potrà essere ellittica 
o parabolica; e dal teorema del n. 2 segue il corollario: 
In un campo C in cui esiste una soluzione della (I) 0 della (II) nulla 
sul contorno c, non totalmente costituito da linee caratteristiche per la 
(II), ogni soluzione di questa non può sempre conservarsi diversa da zero. 
E invero, nell'ipotesi che una soluzione vw della (II) sia sempre in C 
diversa da zero e una soluzione « della (I) sia nulla sul contorno c di C, 
dal teorema del n. 2 segue essere, in C, 
u=v2D(p), 
dove g designa una soluzione particolare delle equazioni coincidenti (2) e 
@ una funzione di 4. Se ne deduce che su c risulterà D(g) = 0, e quindi 
ch’esso è totalmente costituito da linee caratteristiche per la (II) (?). 
Dal corollario ora stabilito si deduce evidentemente che per quei campi 
C il cui contorno non è totalmente costituito da linee caratteristiche della 
equazione (II) e pei quali si sia assicurata l’esistenza di una soluzione 
della (II) ivi sempre diversa da zero, valgono i teoremi di unicità relativi 
(!) Questa osservazione è stata anche fatta (indipendentemente da me) dal profes- 
sore E. E. Levi che me la comunicò per lettera. 
(8) Osserviamo che se v è una soluzione della (IT) lo è anche v (9), per cui, se 
le equazioni (I) e (II) non hanno soluzioni comuni (circostanza questa che si può accer- 
tare, nel caso di una conveniente derivabilità dei coefficienti delle equazioni, con soli 
calcoli algebrici e di derivazione) è lecito nell’enunciato del corollario ora stabilito tacere 
la condizione che c non deve essere totalmente. costituito da linee caratteristiche della 
equazione (II). 
Osserviamo ancora che la medesima condizione si può anche sopprimere nell’ipotesi 
che sia, in tutto C, H(2,y) <B(2,y). 
